Angolo tangente

angolo tra la tangente ad una curva in un punto e l'asse delle ascisse
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Angolo tangente in un punto di una curva

L'angolo tangente o angolo di rotazione di una curva regolare in un punto appartenente alla curva è l'angolo tra la tangente alla curva in e l'asse delle ascisse,[1] oppure tra la tangente in e la tangente in un punto prestabilito della curva[2] (le due definizioni sono equivalenti a meno di una costante additiva).

Definizione e proprietàModifica

Data una curva regolare espressa dalla parametrizzazione   e dato   tale che

 

per un valore   fissato, si dimostra che esiste un'unica funzione differenziabile   tale che

 

e

 .

Tale funzione   è l'angolo tangente di   determinato da  .[3]

Se la curva ha velocità unitaria, si ha

 

e si dimostra che la curvatura è data dalla derivata dell'angolo tangente:

 

dove il segno di   è positivo se la curva si piega a sinistra, negativo se si piega a destra.[4]

Se la curva è espressa implicitamente dall'equazione  , una sua parametrizzazione è data da   e si può assumere  , e l'angolo di rotazione è dato esplicitamente da  .

Angolo tangente polareModifica

In coordinate polari, l'angolo polare tangente in un punto è definito come l'angolo tra la tangente alla curva in quel punto e il raggio che va dall'origine al punto stesso.[5] Se   denota l'angolo polare tangente, allora  , dove   è l'angolo tangente precedentemente definito e   è l'angolo polare.

Se una curva è definita in coordinate polari come   si ha che l'angolo polare tangente   in   è dato (a meno di un multiplo di  ) da

 .

Se la curva è espressa tramite una parametrizzazione in coordinate polari e con velocità unitaria  , la definizione diventa più semplice

 .[6]

La spirale logaritmica può essere definita come una curva il cui angolo tangente polare è costante.[5][6]

NoteModifica

  1. ^ "Natural Equation", MathWorld
  2. ^ Ad esempio, W. Whewell in "Of the Intrinsic Equation of a Curve, and its Application" Cambridge Philosophical Transactions Vol. VIII (1849) pp. 659-671, dove indica con φ l'angolo tra la tangente nel punto e la tangente dell'origine; in quest'articolo introduce il concetto di equazione di Whewell, una importante applicazione dell'angolo tangente.
  3. ^ Caddeo & Gray, pp. 20-21.
  4. ^ MathWorld, "Natural Equation"
  5. ^ a b "Logarithmic Spiral" su Planet Math
  6. ^ a b Williamson, p. 222.

BibliografiaModifica

  • Renzo Caddeo e Alfred Gray, Curve e superfici, vol. 1, Cagliari, CUEC, 2001, ISBN 88-8467-022-5.
  • R.C. Yates, A Handbook on Curves and Their Properties, Ann Arbor, MI, J. W. Edwards, 1952, pp. 123–126.
  • Benjamin Williamson, Angle between Tangent and Radius Vector, in An elementary treatise on the differential calculus, 9ª ed., 1899, p. 222.

Voci correlateModifica

Collegamenti esterniModifica

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