Apri il menu principale

In meccanica quantistica l'approssimazione WKB (Wentzel-Kramers-Brillouin), conosciuta anche come approssimazione WKBJ (Wentzel-Kramers-Brillouin-Jeffreys), è un'approssimazione semiclassica nella quale si impone che la funzione d'onda sia scritta in forma esponenziale e tale esponente viene sviluppato in serie di potenze della costante di Planck.

Il metodo prende il nome dai fisici Wentzel, Kramers e Brillouin, che lo svilupparono nel 1926. Nel 1923 il matematico Harold Jeffreys sviluppò un metodo generale per approssimare le equazioni lineari del second'ordine, inclusa l'equazione di Schrödinger. Poiché l'equazione di Schrödinger fu sviluppata due anni più tardi e Wentzel, Kramers e Brillouin erano ignari di questo lavoro, Jeffreys è spesso omesso.

Il metodoModifica

Data l'equazione di Schrödinger stazionaria

 

l'approssimazione richiede di porre

 

in modo da avere

 

dove   indica la derivata di   rispetto a x. La derivata   può essere separata in parte reale e immaginaria, introducendo le funzioni reali A e B:

 

L'ampiezza della funzione d'onda è quindi data da   mentre la fase è   Le parti reale e immaginaria dell'equazione di Schrödinger assumono la forma

 
 

A questo punto, si invoca l'approssimazione semiclassica. Si sviluppano cioè le funzioni A e B in potenze di  . È chiaro dalle equazioni che lo sviluppo deve cominciare con l'ordine  .

 
 

All'ordine zero in questo sviluppo, le condizioni su A e B hanno la forma

 
 

Se l'ampiezza varia abbastanza lentamente rispetto alla fase, ( ), si ha

 

che vale solo se l'energia totale è maggiore dell'energia potenziale, come succede sempre nella meccanica classica. All'ordine successivo dello sviluppo si ottiene

 

Se invece è la fase a variare lentamente (rispetto all'ampiezza), ( ) si ha

 

che vale solo se l'energia potenziale è più grande dell'energia totale (il regime in cui si verifica l'effetto tunnel). All'ordine successivo nello sviluppo si ha

 

È chiaro dal denominatore che entrambe queste soluzioni perdono di validità vicino ai punti d'inversione classica dove  . Esse sono le soluzioni approssimate lontano dai [punti d'inversione, nel regime classico ( ), dove la particella si comporta in modo simile a una particella libera e la funzione d'onda è oscillante, e nel regime di effetto tunnel ( ) dove l'ampiezza dell'onda cambia rapidamente.

Per completare la derivazione, è necessario raccordare le soluzioni così trovate attraverso i punti d'inversione. La soluzione in prossimità dei punti d'inversione, al primo ordine in   ha la forma

 

dove   è il coefficiente di   nello sviluppo di   attorno al punto d'inversione  .

Questa equazione differenziale è nota come equazione di Airy, e la sua soluzione può essere scritta in termini delle funzioni di Airy:

 

Questa soluzione deve collegare la soluzione nelle due regioni "classica" e "tunnel". Dati i due coefficienti da un lato del punto d'inversione, i due coefficienti dall'altro lato possono essere determinati mediante questa soluzione locale. Questo permette di derivare una relazione fra   e  .

Si può sfruttare la relazione asintotica fra le funzioni di Airy, e seno, coseno ed esponenziale. Si ottengono così le "formule di connessione":

 

Esse permettono di derivare le soluzioni globali.

BibliografiaModifica

  • H. Jeffreys, Proc. London Math. Soc., (2)23, nº 428, 1923.
  • G. Wentzel, Zeits. f. Phys., vol. 38, nº 518, 1926.
  • H. A. Kramers, Zeits. f. Phys., vol. 39, nº 828, 1926.
  • L. Brillouin, Tome cent-quatre-vingt-troisième, in Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences, vol. 183, nº 24, 1926.
  • Lev Landau e Evgenij Lifsits, Fisica Teorica, Volume 3: Meccanica Quantistica, Editori Riuniti, 1978.
  Portale Meccanica quantistica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di Meccanica quantistica