Arcotangente

funzione inversa della tangente

In trigonometria l'arcotangente è definita come funzione inversa della restrizione della funzione tangente all'intervallo [1]

Il nome può esser fatto derivare dalla locuzione uno degli archi la cui tangente è la misura dell'angolo (infatti i radianti, unità di misurazione della funzione arcotangente, corrispondono al rapporto tra la lunghezza dell'arco di circonferenza individuato da un dato angolo e il raggio della circonferenza stessa). Con maggior precisione, si potrebbe affermare che l'arcotangente di è l'angolo di valore assoluto minore la cui tangente è .

È necessario considerare la restrizione della funzione tangente all'intervallo precedentemente indicato in modo da preservare l'invertibilità della funzione.

NotazioneModifica

La notazione matematica dell'arcotangente è   o  ; è comune anche la scrittura  . In diversi linguaggi di programmazione e sulle tastiere di alcune calcolatrici si utilizzano le forme ATAN e ATN.

ProprietàModifica

 
Grafico della funzione y=arctan(x)
 
  • La sua immagine è l'intervallo:
 
  • Ne esistono finiti i limiti agli estremi del dominio:
 
 
  • La funzione arcotangente è monotona strettamente crescente:
 
  • È una funzione dispari (quindi il suo grafico è antisimmetrico):
 

ed è di classe   cioè è continua e ne esiste continua la derivata di ogni ordine:[3]

 
 
 
 
 
 

La relativa serie di MacLaurin (ovvero serie di Taylor centrata nello zero) è:[4]

 

è una serie di Leibniz (quindi convergente) soltanto se  

È possibile combinare la somma o differenza di due arcotangenti in un'espressione dove l'arcotangente non figura più di una volta:

 

nelle quali

 

Si ha inoltre che, per  :

 

Esistono vari modi per provare questa uguaglianza. Ad esempio, basta considerare un triangolo rettangolo avente i cateti di lunghezza   e  . L'angolo opposto al cateto di lunghezza   avrà ampiezza pari a  , mentre l'angolo opposto al cateto di lunghezza   avrà ampiezza pari a  . Per il teorema della somma degli angoli interni di un triangolo, vale quindi la relazione:

 

e quindi si giunge a:

 

ApplicazioniModifica

NoteModifica

  1. ^ Paolo Baroncini, Roberto Manfredi, Ilaria Fragni, Lineamenti.Math Blu Volume 4, Ghisetti e Corvi, 2012, ISBN 978-88-538-0432-7. p.187
  2. ^ Paolo Baroncini, Roberto Manfredi, Ilaria Fragni, Lineamenti.Math Blu Volume 4, Ghisetti e Corvi, 2012, ISBN 978-88-538-0432-7. pp.188-189
  3. ^ Maderna C. e Soardi P.M., Lezioni di Analisi Matematica, CittàStudi Edizioni - Milano, 1995, ISBN 88-251-7090-4. p. 219
  4. ^ Maderna C. e Soardi P.M., Lezioni di Analisi Matematica, CittàStudi Edizioni - Milano, 1995, ISBN 88-251-7090-4. p. 239
  5. ^ Baroncini Paolo, Manfredi Roberto, Fragni Ilaria, Lineamenti.Math Blu Volume 4, Ghisetti e Corvi, 2012, ISBN 978-88-538-0432-7. pp. 376-377

BibliografiaModifica

  • Carla Maderna e Paolo M. Soardi, Lezioni di Analisi Matematica, CittàStudi Edizioni - Milano, 1995, ISBN 88-251-7090-4.
  • Paolo Baroncini, Roberto Manfredi, Ilaria Fragni, Lineamenti.Math Blu Volume 4, Ghisetti e Corvi, 2012, ISBN 978-88-538-0432-7.

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