Corrispondenza biunivoca
relazione binaria tra X e Y
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In matematica una corrispondenza biunivoca tra due insiemi e è una relazione binaria tra e , tale che ad ogni elemento di corrisponda uno ed un solo elemento di , e viceversa ad ogni elemento di corrisponda uno ed un solo elemento di . In particolare, la corrispondenza biunivoca è una relazione di equivalenza.
Lo stesso concetto può anche essere espresso usando le funzioni. Si dice che una funzione
è biiettiva se per ogni elemento di vi è uno e un solo elemento di tale che .
Una tale funzione è detta anche biiezione, bigezione, funzione bigettiva o funzione biunivoca.
Proprietà
modificaIniettività e suriettività
modificaUna funzione è biiettiva se e solo se è contemporaneamente iniettiva e suriettiva[1], cioè se soddisfa le seguenti condizioni:
- implica per ogni , scelti in ;
- tale che , cioè ogni elemento del codominio è immagine di un elemento del dominio.
Invertibilità
modifica- Una funzione è biiettiva se e solo se è invertibile, cioè se e solo se esiste una funzione tale che la funzione composta venga a coincidere con la funzione identità su e che la funzione coincida con l'identità su . La funzione se esiste è unica, viene chiamata funzione inversa di e denotata con .
Composizione
modifica- La composizione di due funzioni biiettive e è ancora biiettiva.
Corrispondenza biunivoca per insiemi finiti
modifica- Se e sono insiemi finiti, si può costruire una biiezione tra e se e solo se essi hanno la stessa cardinalità. In tale caso, inoltre, ogni funzione iniettiva o suriettiva è anche biiettiva.[2]
Note
modifica- ^ C. Kosniowski, p. 2.
- ^ Conte, Picco Botta, Romagnoli, p. 12.
Bibliografia
modifica- Czes Kosniowski, Introduzione alla Topologia Algebrica, Zanichelli, 1988, ISBN 88-08-06440-9.
- Conte, Picco Botta, Romagnoli, Algebra, Levrotto & Bella, 1986, ISBN 8882181464.
Voci correlate
modificaAltri progetti
modifica- Wikimedia Commons contiene immagini o altri file sulla corrispondenza biunivoca
Collegamenti esterni
modifica- corrispondenza biunivoca, in Enciclopedia della Matematica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2013.
- (EN) one-to-one correspondence, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.
- (EN) Eric W. Weisstein, Corrispondenza biunivoca, su MathWorld, Wolfram Research.
- (EN) Corrispondenza biunivoca, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.