Corrispondenza biunivoca

relazione binaria tra X e Y
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In matematica una corrispondenza biunivoca tra due insiemi e è una relazione binaria tra e , tale che ad ogni elemento di corrisponda uno ed un solo elemento di , e viceversa ad ogni elemento di corrisponda uno ed un solo elemento di . In particolare, la corrispondenza biunivoca è una relazione di equivalenza.

Un esempio di funzione biiettiva

Lo stesso concetto può anche essere espresso usando le funzioni. Si dice che una funzione

è biiettiva se per ogni elemento di vi è uno e un solo elemento di tale che .

Una tale funzione è detta anche biiezione, bigezione, funzione bigettiva o funzione biunivoca.

Proprietà

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Iniettività e suriettività

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Una funzione   è biiettiva se e solo se è contemporaneamente iniettiva e suriettiva[1], cioè se soddisfa le seguenti condizioni:

  1.   implica   per ogni  ,   scelti in  ;
  2.   tale che  , cioè ogni elemento del codominio è immagine di un elemento del dominio.

Invertibilità

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  • Una funzione   è biiettiva se e solo se è invertibile, cioè se e solo se esiste una funzione   tale che la funzione composta   venga a coincidere con la funzione identità su   e che la funzione   coincida con l'identità su  . La funzione   se esiste è unica, viene chiamata funzione inversa di   e denotata con  .

Composizione

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  • La composizione   di due funzioni biiettive   e   è ancora biiettiva.

Corrispondenza biunivoca per insiemi finiti

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  • Se   e   sono insiemi finiti, si può costruire una biiezione tra   e   se e solo se essi hanno la stessa cardinalità. In tale caso, inoltre, ogni funzione   iniettiva o suriettiva è anche biiettiva.[2]

Bibliografia

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  • Czes Kosniowski, Introduzione alla Topologia Algebrica, Zanichelli, 1988, ISBN 88-08-06440-9.
  • Conte, Picco Botta, Romagnoli, Algebra, Levrotto & Bella, 1986, ISBN 8882181464.

Voci correlate

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Collegamenti esterni

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