In matematica, una C*-algebra è un'algebra complessa di operatori lineari continui (limitati) definiti su uno spazio di Hilbert complesso con due proprietà aggiuntive:

  • è un insieme (topologicamente) chiuso nella topologia della norma degli operatori.
  • è chiuso rispetto all'operazione di prendere l'aggiunto di un operatore.

L'interesse per le C*-algebre è nato con la meccanica quantistica dove vengono usate per modellare le algebre degli osservabili. Questa linea di ricerca inizia in forma rudimentale con la meccanica matriciale di Werner Karl Heisenberg e in una forma matematicamente più evoluta con Pascual Jordan nel 1933. Successivamente, John von Neumann cerca di sistematizzarne lo studio arrivando a pubblicare un'importante serie di articoli sugli anelli di operatori, in cui vengono considerate delle speciali classi di C*-algebre, oggi chiamate algebre di von Neumann.

Intorno al 1943 il lavoro di Izrail' Moiseevič Gel'fand, Mark Naimark e Irving Segal porta alla caratterizzazione astratta delle C*-algebre che non fa più riferimento agli operatori.

Le C*-algebre costituiscono oggigiorno un importante strumento nella teoria delle rappresentazioni unitarie dei gruppi localmente compatti, oltre ad essere usate nella formulazione algebrica della meccanica quantistica.

DefinizioneModifica

Una C*-algebra   è un'algebra di Banach su campo complesso, assieme ad una involuzione   che manda   in   e che gode della proprietà:

 

Nonostante l'apparente semplicità, questa uguaglianza permette di ricavare un numero notevole di risultati. Si tratta della caratterizzazione astratta di C*-algebra data in un articolo del 1943 da Gel'fand and Naimark.

La definizione di C*-algebra non implica che   debba avere un'unità, ciò nonostante si può dimostrare che esiste un'unica C*-algebra   con unità che contiene   come ideale e tale che   abbia dimensione 1. In questo modo si può definire lo spettro anche per gli elementi di una C*-algebra   senza unità considerandoli come elementi di  .

Se   e   sono C*-algebre, un omomorfismo algebrico   viene chiamato *-omomorfismo se rispetta l'involuzione, ovvero se:

 

Come sempre se un *-omomorfismo è biettivo lo si chiama *-isomorfismo e si dice che le due C*-algebre sono isomorfe. Se non c'è rischio di confusione, si può tralasciare il "*-" iniziale. Si dimostra che un qualsiasi *-homomorfismo è limitato con norma minore o uguale a 1 (e quindi, in particolare, che un *-isomorfismo è un'isometria).

Il termine B*-algebra è stato introdotto da C. E. Rickart nel 1946 per descrivere un'*-algebra di Banach che soddisfa:

 

per tutti gli   nella data B*-algebra. Ogni C*-algebra è anche una B*-algebra, perché:

 

quindi   se   non è nullo, e sostituendo   a   si conclude che:

 

In parallelo con la teoria degli operatori, un   viene chiamato:

  • hermitiano se  ,
  • normale se  ,
  • unitario se  .

EsempiModifica

C*-algebre a dimensione finitaModifica

L'algebra   delle matrici   su campo complesso diventa una C*-algebra se viene dotata della norma usuale quando considerata come spazio degli operatori su  , e se si prende come involuzione di una matrice la sua aggiunta.

Più in generale si possono considerare somme dirette di algebre matriciali. Infatti si dimostra che tuttle le C*-algebre a dimensione finita sono di questa forma (teorema di Artin-Wedderburn perché le C*-algebre a dimensione finita sono semisemplici).

C*-algebre di operatoriModifica

L'esempio tipico di C*-algebra è l'insieme degli operatori limitati (i.e. continui)   su uno spazio di Hilbert   dotato delle operazioni solite e con   che indica l'aggiunto di  . Infatti, per il teorema di Gel'fand-Naimark, ogni C*-algebra   è *-isomorfa ad una sottoalgebra (chiusa rispetto alla norma ed a *) di   per un opportuno spazio di Hilbert  .

C*-algebre commutativeModifica

Sia   uno spazio di Hausdorff localmente compatto. Lo spazio   delle funzioni complesse a supporto compatto su   è una C*-algebra con le operazioni usuali e con l'involuzione data dalla coniugazione complessa punto per punto. Da notare che è unitaria solo se   è compatto.

Il teorema di rappresentazione di Gel'fand dice che ogni C*-algebra commutativa è *-isomorfa ad   con   lo spazio dei caratteri (*-omomorfismi tra l'algebra e  ) dotato della topologia debole (è localmente compatto perché i caratteri hanno norma 1 e quindi si possono vedere come elementi della palla unitaria dello spazio duale). Inoltre se   è isomorfo ad   allora segue che   ed   sono omeomorfi, questa è la motivazione che sottostà ai metodi di indagine della geometria non commutativa.

C*-algebra nucleareModifica

In matematica, una C*-algebra nucleare è una C*-algebra   tale che il prodotto tensoriale algebrico con qualsiasi altra C*-algebra  , ossia l'algebra  , ammetta una ed una sola norma C*.

Tutte le C*-algebre abeliane sono nucleari.

BibliografiaModifica

Voci correlateModifica

Collegamenti esterniModifica

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