Campo di spezzamento

In algebra, il campo di spezzamento (o campo di riducibilità completa) di un polinomio , definito su un campo , è la più piccola estensione di che contiene tutte le radici di .

DefinizioneModifica

Sia   un campo e   un polinomio a coefficienti in  . Un'estensione   di   è un campo di spezzamento se:

  • esistono   (non necessariamente distinti) tali che
 ;
  • l'estensione generata da   su   è uguale ad  .

La seconda condizione può anche essere espressa dicendo che, se   è un'estensione intermedia tra   e   (ovvero se  ), allora esiste un   tale che  ; in questo senso,   è la più piccola estensione di   che contiene tutte le radici di  .

CostruzioneModifica

Se   è un polinomio a coefficienti in  , è sempre possibile costruire un campo di spezzamento di   su  , applicando ripetutamente quozienti di anelli di polinomi.

Supponiamo infatti che   si fattorizzi in   come  . Allora, l'anello quoziente   è un campo (poiché   è un ideale massimale) che contiene   e una radice di  . La fattorizzazione di   in   comprenderà quindi un fattore lineare (corrispondente alla radice di  ).

Il procedimento può essere ripetuto (passando poi ai fattori  ) e termina dal momento che il grado di   è finito; il campo che si ottiene alla fine è esattamente un campo di spezzamento di   su  .

Applicando questa costruzione ad ogni polinomio (con l'aiuto del lemma di Zorn se il campo di partenza non è numerabile) si ottiene la costruzione di una chiusura algebrica di  .

UnicitàModifica

Due campi di spezzamento di uno stesso polinomio, su uno stesso campo, sono isomorfi.

Se   è un campo algebricamente chiuso contenente   (ad esempio, se è la sua chiusura algebrica) allora esiste un unico campo di spezzamento di   contenuto in  . Gli isomorfismi di questo campo di spezzamento formato un gruppo, detto gruppo di Galois del polinomio; esso misura, in un certo senso, in quanti modi diversi il campo di spezzamento di   può essere costruito.

I sottocampi di   che sono campi di spezzamento di un polinomio a coefficienti in   sono esattamente le estensioni algebriche, normali e di grado finito di  .

Se   è irriducibile, tale campo è la chiusura normale del sottocampo  , dove   è una qualsiasi radice di  .

EsempiModifica

  • Sia   il campo dei numeri razionali e  . Il campo di spezzamento di   contenuto nel campo dei numeri complessi   (che è algebricamente chiuso) è il sottocampo generato (su  ) dalla radice cubica di 2 e dalle radici terze dell'unità.
  • Il campo di spezzamento di   sul campo   dei numeri reali è tutto  .
  • Il campo di spezzamento di   sul campo   delle classi di resto modulo   (dove   è un numero primo) è un campo finito di ordine  . In particolare, l'esistenza e l'unicità dei campi di spezzamento dimostra che, se   è la potenza di un numero primo, allora esiste un unico campo (a meno di isomorfismo) di cardinalità  .

BibliografiaModifica

  • Stefania Gabelli, Teoria delle Equazioni e Teoria di Galois, Milano, Springer, 2008, ISBN 978-88-470-0618-8.
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