Campo di numeri

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In matematica un campo di numeri (o campo numerico) è un'estensione finita del campo dei numeri razionali. Questo significa che è un campo contenente ed ha dimensione finita come spazio vettoriale su .

Lo studio dei campi di numeri e, più in generale, delle estensioni del campo dei numeri razionali, è uno degli argomenti principali della teoria algebrica dei numeri.

DefinizioneModifica

Un campo algebrico di numeri o più semplicemente un campo di numeri   è per definizione un sottocampo del campo dei numeri complessi   che sia un'estensione di grado finito   del campo dei numeri razionali  .

EsempiModifica

  • Un primo esempio banale è il campo dei numeri razionali  , che è esso stesso un campo di numeri, essendo un'estensione di grado   di  .
  • Un esempio non banale sono i campi quadratici, cioè le estensioni   con   privo di fattori quadratici. Ovviamente se   allora   è il campo dei razionali gaussiani.
  • Un altro esempio è l' -esimo campo ciclotomico, cioè il campo   con   radice primitiva  -esima dell'unità, questo campo ha grado   dove   è la funzione di Eulero.
  • Un "non" esempio è  , che è un'estensione di   ma il suo grado è infinito, per cui non è un campo di numeri. Per vedere che  , basta ricordare che   ha cardinalità del continuo, mentre   è numerabile.

Anelli di interi algebriciModifica

Sappiamo dalla teoria dei campi che data un'estensione  , un elemento   è detto algebrico su   se   è radice di un polinomio monico  , e chiamiamo estensioni algebriche le estensioni di campi i cui elementi sono tutti algebrici; in particolare se   chiamiamo numero algebrico un elemento   che sia algebrico su  , inoltre se   è radice di un polinomio monico a coefficienti in   diremo che   è un intero algebrico.

Ora, dato un campo di numeri  , definiamo   (si dimostra che   è un anello), si definisce   anello degli interi algebrici di  .

In generale dato un campo di numeri  , il rispettivo anello degli interi   non è un UFD (vedi esempio sotto), ma è possibile dimostrare che gode di altre interessanti proprietà, in particolare, che è un dominio di Dedekind, per cui ammette una fattorizzazione unica in termini di ideali primi.

EsempioModifica

Dato il campo quadratico  , si ha   (in realtà si può dimostrare che  ), per cui abbiamo

 

dunque   non è UFD.

BibliografiaModifica

  • (EN) Gerald J. Janusz, Algebraic Number Fields, 2nd, Providence, R.I., American Mathematical Society, 1996 1997, ISBN 978-0-8218-0429-2.
  • (EN) Serge Lang, Algebraic Number Theory, second edition, Springer, 2000
  • (EN) Richard A. Mollin, Algebraic Number Theory, CRC, 1999
  • (EN) Ram Murty, Problems in Algebraic Number Theory, Second Edition, Springer, 2005
  • (EN) Władysław Narkiewicz, Elementary and analytic theory of algebraic numbers, Springer Monographs in Mathematics, 3ª ed., Berlin, Springer-Verlag, 2004, ISBN 978-3-540-21902-6, MR 2078267.
  • (EN) Jürgen Neukirch, Algebraic number theory, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, vol. 322, Berlin, New York, Springer-Verlag, 1999, ISBN 978-3-540-65399-8, MR 1697859, Zbl 0956.11021.
  • (EN) Jürgen Neukirch, Alexander Schmidt e Kay Wingberg, Cohomology of Number Fields, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, vol. 323, Berlin, New York, Springer-Verlag, 2000, ISBN 978-3-540-66671-4, MR 1737196, Zbl 1136.11001.
  • (EN) André Weil, Basic Number Theory, third edition, Springer, 1995

Voci correlateModifica

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