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Caratteristica (algebra)

In matematica, la caratteristica di un anello è definita come il più piccolo numero naturale diverso da zero tale che l'elemento

è uguale a zero. Se questo minimo non esiste, cioè se è sempre diverso da zero, la caratteristica è per definizione.

Molti risultati importanti dell'algebra lineare o della geometria algebrica richiedono che l'anello o il campo usato nella teoria abbia caratteristica zero. La presenza di una caratteristica diversa da zero può portare a fenomeni che si scontrano con l'intuizione geometrica. Altri risultati richiedono che l'anello o il campo non abbia caratteristica .

ProprietàModifica

Caratteristica di un elementoModifica

Più generalmente, la caratteristica di un elemento   è il più piccolo   tale che

 

sia uguale a zero. Secondo questa definizione, si può definire la caratteristica dell'anello come il minimo comune multiplo delle caratteristiche dei suoi elementi.

Se l'anello è un dominio di integrità, ogni elemento diverso da zero ha la stessa caratteristica.

Numero primoModifica

Nei domini di integrità, la caratteristica è   oppure un numero primo: l'unica eccezione è l'anello banale (fatto di un elemento solo  ) che è l'unico dominio con caratteristica  .

Anello finitoModifica

Un anello con un numero finito di elementi ha sempre caratteristica diversa da zero.

Sottoanelli, morfismiModifica

Se   è un sottoanello di  , ha la stessa caratteristica di  .

Più in generale, se   e   sono anelli e   è un omomorfismo di anelli, allora la caratteristica di   divide quella di  .

Endomorfismo di FrobeniusModifica

Se la caratteristica di un anello   è un numero primo  , allora

 

per tutti gli elementi   in  . La mappa

 

è quindi un endomorfismo di anelli, chiamato endomorfismo di Frobenius. Questo è iniettivo se   è un dominio d'integrità.

EsempiModifica

Campi razionali, reali, complessiModifica

I campi  ,   e   dei numeri razionali, reali e numeri complessi hanno caratteristica zero.

Anelli finitiModifica

Un anello con un numero finito di elementi ha caratteristica diversa da zero. Ad esempio, l'anello   delle classi di resto modulo  , ha caratteristica  .

Numeri p-adiciModifica

I numeri p-adici formano un campo di caratteristica zero, benché la loro costruzione usi una famiglia di anelli di caratteristica   con   tendente a infinito.

Caratteristica di un campoModifica

Come detto sopra, la caratteristica di un campo   è zero o un numero primo. Il campo minimale fra tutti quelli che contengono l'unità   è un sottocampo di   che dipende dalla caratteristica: se questa è zero, è isomorfo al campo   dei numeri razionali. Se è  , è isomorfo ad un campo finito.

Esistono campi infiniti di caratteristica  , ad esempio la chiusura algebrica di  .

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