Carico critico euleriano

Si dice carico critico euleriano, per la teoria elastica della trave, quella forza di compressione il cui valore porta indefinitamente ad inflessione il solido snello su cui agisce, generando instabilità a carico di punta.

Caso elementare senza taglioModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Equazione di Helmholtz.

DescrizioneModifica

 
Schema statico

Si consideri un'asta realizzata con un materiale elastico lineare, soggetta ad una forza di compressione   a un capo.

Se l'asta subisce un lieve sbandamento in modo che la sua linea d'asse (deformata) sia descritta da una curva nota, di equazione  , la forza   produce anche un momento  , a cui si oppone il momento interno che, se si confonde la curvatura con la derivata seconda, vale  , dove E è il modulo di elasticità longitudinale.

La condizione di equilibrio, per cui la configurazione deformata sia in equilibrio con la forza esterna, impone che la somma dei momenti, interno ed esterno, sia nulla:

 

Questa è una equazione di Helmholtz per la funzione y(x), che può essere ridotta in forma canonica come l'equazione agli autovalori:

 

in cui la curvatura (buckling, corrispondente ad un numero d'onda per una equazione delle onde), ovvero l'autovalore dell'operatore matematico della derivata seconda, corrisponde a:

 

La soluzione di questa equazione è:

 

dove A e B sono costanti di integrazione, che richiedono altrettante condizioni al contorno. Si impongono quindi due condizioni di Dirichlet:  : posizioniamo lo zero del sistema di riferimento in un punto indeformato, e studiamo dove la trave torna indeformata.

La lunghezza inflessa, ovvero la lunghezza d'onda stazionaria associata alla deformazione λ, NON corrisponde in generale alla lunghezza semplice della trave (h): a seconda di come la trave è vincolata la lunghezza inflessa può essere superiore o inferiore alla lunghezza fisica della trave alla distanza tra due flessi nella trave deformata.

Dalla condizione  , segue semplicemente che la prima delle due costanti è nulla.

La seconda condizione diventa allora che la lunghezza inflessa è la coordinata del punto in cui lo spostamento torna nullo:  , che ha due soluzioni possibili:

  • se  , deve risultare  . In questo caso la soluzione dell'equazione è  , ovvero la sola configurazione di equilibrio è quella indeformata.
  • se   allora la condizione al contorno è soddisfatta per qualunque valore di B, pertanto esistono infinite configurazioni equilibrate (equilibrio indifferente).

La condizione   implica che  , dove n indica un intero positivo. Ricordando la definizione del numero d'onda  , si ha che la precedente condizione è soddisfatta se

 

e questo si verifica per quei valori di N tali che

 

Il più piccolo dei valori di   corrisponde al passaggio da una condizione di equilibrio stabile ad una instabile. Tale valore è quello per n = 1, ed è detto il carico critico euleriano dell'asta compressa:

 

Indicando con   la forza critica. Si noti che finora non si è parlato della lunghezza reale h della trave: questa si considera nel paragrafo vincolamento.

Tensione criticaModifica

Dal carico critico ne deriva la tensione critica, cioè il valore della tensione raggiunto dall'asta quando  

 

ovvero, in forma adimensionale:

   

con:

 

La quantità adimensionale   viene chiamata "snellezza" dell'asta: è un parametro che dipende da forma e vincolamento della trave, corrispondente al rapporto tra lunghezza inflessa (che dipende dal vincolamento, e dalla lunghezza della trave) e raggio d'inerzia (che dipende dalla forma della sezione).

Invece, il rapporto tra la tensione meccanica e il modulo di Young:

 

nel caso di un acciaio da costruzione risulta un numero piccolo, intorno al permille, per esempio può essere 200MPa/200GPa = 1/1000.

Effetto del vincolamentoModifica

 
Coefficiente di vincolo per diversi vincolamenti della trave

Il profilo dell'inflessione dipende fortemente dalla tipologia dei vincoli. Si definisce per comodità un coefficiente di vincolo, indicato con μ in figura per casi senza forze di taglio. Corrisponde al rapporto tra lunghezza di libera inflessione della trave, e la lunghezza fisica della trave.

I valori del coefficiente per alcuni casi di vincolamento sono:

    • μ = 1 per una trave vincolata con 2 cerniere agli estremi: si veda in figura che la deformata assume la forma di una semplice sinusoide che ha semi-lunghezza d'onda uguale alla lunghezza della trave
    • μ = 2 per una trave vincolata con un solo incastro perfetto (mensola). Si vede in figura che la semi-lunghezza d'onda della deformata è due volte la lunghezza fisica della trave
    • μ = 1/2 per una trave vincolata con 2 incastri perfetti agli estremi
    • μ = 2/3 per una trave vincolata con un incastro perfetto e una cerniera

Da questo coefficiente si calcola la lunghezza di libera inflessione una volta nota la misura della trave, con un semplice prodotto:

 

Da qui poi si calcola la snellezza massima, conoscendo il raggio di inerzia più piccolo tra quelli delle varie sezioni trasversali della trave.

Caso generale con taglioModifica

DescrizioneModifica

L'equazione della linea elastica in generale è

 

Sostituendo l'espressione di M e di T si ottiene

 

Da quest'ultima relazione si ottiene l'equazione differenziale del problema:

 

Per valori pari a   si ottiene l'equilibrio. La soluzione dell'equazione differenziale è del tipo

 

A e B sono costanti che dipendono dalle condizioni al contorno. Dalla condizione  , segue che la prima delle due costanti è nulla. Considerando che  , che ha due soluzioni possibili:

  • se  , deve risultare  . In questo caso la soluzione dell'equazione è  , ovvero la sola configurazione di equilibrio è quella indeformata.
  • se   allora la condizione al contorno è soddisfatta per qualunque valore di B, pertanto esistono infinite configurazioni equilibrate (equilibrio indifferente).

La condizione   implica che  , dove n indica un intero positivo. Ricordando la definizione di  , si ha che la precedente condizione è soddisfatta se

 

Il più piccolo dei valori di   corrisponde al passaggio da una condizione di equilibrio stabile ad una instabile. Tale valore è quello per n = 1, ed è detto il carico critico euleriano dell'asta compressa:

 

Tensione criticaModifica

Dal carico critico ne deriva la tensione critica, cioè il valore della tensione raggiunto dall'asta quando  

 

Voci correlateModifica