Cerchio di Apollonio

Il cerchio di Apollonio è il luogo geometrico formato dai punti del piano tali che il rapporto delle loro distanze da due punti fissati è costante. Talora viene chiamato con questo nome uno qualunque dei cerchi che risolve il problema di Apollonio.

La costruzione geometrica del cerchio di Apollonio

Il nome deriva da Apollonio di Perga, geometra e astronomo greco, che per primo dimostrò che il luogo descritto era una circonferenza; tale proprietà può in effetti essere usata come definizione alternativa di circonferenza.

Equazione cartesianaModifica

Fissiamo due punti   e  , in modo che   coincida con l'origine degli assi e   sia posto a distanza   da esso. Un generico punto   del cerchio di Apollonio è caratterizzato dalla relazione:

 ,

dove   è una costante positiva. Traducendo le distanze in coordinate cartesiane si ha

 ,

che elevando al quadrato e semplificando i denominatori diventa

 .

Riorganizzando l'equazione e normalizzando i coefficienti di secondo grado si ottiene l'equazione della circonferenza in forma canonica:

 .

ProprietàModifica

Dall'equazione cartesiana sopra riportata è possibile dedurre alcune proprietà del cerchio di Apollonio:

  • il centro del cerchio è posto in  , e si trova sempre sul prolungamento del segmento  ;
  • il raggio del cerchio vale  ;
  • per   il cerchio di Apollonio degenera nell'asse del segmento  ; per   il cerchio contiene il punto  ; per   il cerchio contiene il punto  ;
  • quando il rapporto tra le distanze è uguale alla sezione aurea, il cerchio ha raggio pari alla lunghezza del segmento  .

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