Chirurgia di Dehn
In matematica, e più precisamente nella topologia della dimensione bassa, la chirurgia di Dehn è un'operazione che permette la trasformazione di una 3-varietà in un'altra 3-varietà. La trasformazione consiste nella rimozione di un toro solido dal suo interno, e nel suo successivo reincollamento, con una mappa che può essere diversa da quella originaria.
La seconda operazione (di reincollamento) può essere effettuata autonomamente e ha il nome di riempimento di Dehn.
Definizioni modifica
Riempimento di Dehn modifica
Sia una 3-varietà con bordo, il cui bordo contiene un toro . Un riempimento di Dehn è l'operazione di incollamento di e di un toro solido lungo i bordi e .
Più precisamente, l'incollamento è determinato da un omeomorfismo
fra i due tori. Questo determina lo spazio quoziente
dove è la relazione di equivalenza indotta da , che identifica ogni punto di con il punto di . Lo spazio quoziente risulta essere una 3-varietà.
Chirurgia di Dehn modifica
La chirurgia di Dehn è un'operazione che consta di due passaggi. Sia una 3-varietà orientabile e un nodo contenuto nell'interno di . Il primo passaggio consiste nella rimozione di un piccolo intorno tubolare aperto del nodo da . Poiché è orientabile, l'intorno tubolare è omeomorfo ad un toro solido, e la varietà risultante dalla rimozione ha una nuova componente di bordo , data dal bordo di questo toro solido, omeomorfa ad un toro.
La seconda operazione consiste in un riempimento di Dehn della nuova componente di bordo . Entrambe le operazioni possono essere sintetizzate dicendo che un toro solido viene rimosso da , e quindi reincollato. Poiché il modo in cui viene reincollato dipende fortemente dalla scelta della mappa , la varietà che ne risulta può essere molto differente da quella iniziale.
Bibliografia modifica
- (EN) Anatolij Fomenko, Sergej Matveev, Algorithmic and computer methods for three-manifolds, Dordrecht (Paesi Bassi), Kluwer, 1997.
