Chiusura algebrica

In matematica, in particolare in algebra, la chiusura algebrica di un campo è la più piccola estensione algebrica di che è algebricamente chiusa; in termini meno rigorosi, la chiusura algebrica di è quel campo che si ottiene "aggiungendo" a le radici di tutti i polinomi a coefficienti in .

Ogni campo ha una chiusura algebrica, e questa è unica a meno di isomorfismi: questo permette di parlare della chiusura algebrica di , invece che di una chiusura algebrica di .

EsempiModifica

  • Esistono molti campi algebricamente chiusi all'interno dei numeri complessi e contenenti strettamente il campo dei numeri algebrici. Tra questi, vi sono le chiusure algebriche delle estensioni trascendenti dei numeri razionali, ad esempio la chiusura algebrica di  .

Esistenza ed unicitàModifica

Usando il lemma di Zorn, può essere mostrato che ogni campo ha una chiusura algebrica, e che la chiusura algebrica di un campo   è unica a meno di isomorfismi che fissano ogni elemento di  . Tuttavia, non esiste un isomorfismo "canonico" tra due chiusure algebriche: ad esempio, date due chiusure   del campo   con p elementi, esistono un numero infinito (e non numerabile) di isomorfismi di   in  .

ProprietàModifica

La chiusura algebrica   di   può essere vista come la più grande estensione algebrica di  , nel senso che ogni altra estensione algebrica   di   può essere immersa dentro   (generalmente in modo non unico); ne segue anche che   è anche la chiusura algebrica di  .

La chiusura algebrica di un campo   ha la stessa cardinalità di   se   è infinito, ed è numerabile se   è finito.

BibliografiaModifica

Voci correlateModifica

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