Apri il menu principale

In analisi matematica, la classe di una funzione di variabile reale indica l'appartenenza della stessa all'insieme delle funzioni derivabili con continuità per un certo numero di volte. Si dice che una funzione definita su un insieme è di classe se in esistono tutte le derivate fino al -esimo ordine, e la -esima è continua (quando la funzione è continua si dice che è di classe ). Si tratta, sostanzialmente, dello spazio delle funzioni differenziabili. Il sottoinsieme delle funzioni le cui prime derivate sono limitate è uno spazio vettoriale.

La derivabilità rispetto ad una variabile garantisce la continuità della funzione rispetto a tale variabile, sicché lo spazio delle funzioni differenziabili con continuità sul campo reale è contenuto nello spazio delle funzioni continue. In generale, è contenuto in per ogni .

Di particolare importanza è l'insieme delle funzioni lisce, tra le quali vi sono i polinomi, e l'insieme delle funzioni analitiche, definite come le funzioni lisce che sono uguali alla loro espansione in serie di Taylor attorno ad ogni punto del dominio.

Indice

DefinizioneModifica

Sia   un sottoinsieme aperto di   e  . Una funzione di variabile reale  si dice di classe   se in ogni punto di   esistono tutte le derivate parziali di   fino al  -esimo ordine, e tali derivate parziali sono funzioni continue. L'insieme delle funzioni di classe   da   in   si indica generalmente con  ; inoltre, è consuetudine porre anche  . Se  , si ha perciò che   se e solo se

 

dove   indica la proiezione di   sulla  -esima componente: formalmente, se per ogni   poniamo

 ,

si ha  .

Inoltre, per la convenzione secondo cui l'unica derivata parziale di   di ordine   è   stessa, segue direttamente dalla definizione che   se e solo se   è continua. Chiaramente, per ogni   risulta  .

Una funzione   si dice poi di classe  (o liscia) se in ogni punto di   esistono tutte le derivate parziali di   di qualsiasi ordine, e tali derivate parziali sono funzioni continue; in altre parole,   è liscia se e solo se   per ogni  . L'insieme delle funzioni lisce da   in   si indica generalmente con  . Evidentemente si ha  .

Una funzione liscia   si dice di classe   (o analitica) se per ogni   esiste un intorno   di   in   tale che   per ogni  , ove   denota lo sviluppo di Taylor di   centrato in  . L'insieme delle funzioni analitiche da   in   si indica con  .

È possibile fornire esempi di funzioni lisce ma non analitiche.

L'insieme di definizioneModifica

Particolare attenzione bisogna rivolgere all'insieme   su cui è definita la funzione. Nella definizione di derivata il punto in cui si calcola il limite viene preso interno ad   (oppure   viene considerato aperto, cosicché tutti i suoi punti siano interni), poiché nei punti di frontiera l'operazione di limite si può applicare solo in modo parziale (solo da alcune "direzioni" e non da altre). Per questo motivo, se   non è un aperto, l'affermazione   deve essere ulteriormente specificata. Non c'è un'unica versione accettata di tale generalizzazione: solitamente si assicura l'esistenza della derivata anche nei punti del bordo e si richiede che tale derivata si riallacci in modo sufficientemente "regolare" a quella nei punti interni. Ad esempio, ci si può "appoggiare" alla definizione precedente, data nel caso in cui il dominio sia un aperto, nel modo seguente: diciamo che   è di classe  , ovvero  , se e solo se esiste un aperto   contenente   e una funzione   che estende  , cioè tale che  .

Lo spazio delle funzioni Modifica

Dal punto di vista dell'analisi funzionale, se   è un insieme compatto in   (  naturale), lo spazio   delle funzioni definite in   a valori reali (o complessi) di classe   è uno spazio vettoriale; con la norma (norma lagrangiana di ordine  )

 

risulta essere uno spazio di Banach;   è la derivata  -esima di   espressa nella notazione multi-indice.

EsempiModifica

  • L'esponenziale   è una funzione di classe  , in quanto ha ogni derivata uguale a se stessa:   per ogni  ; più precisamente,   è una funzione analitica.
  • L'identità   è di classe  , in quanto ha derivata prima costante uguale a   e ogni derivata successiva costante uguale a  . Più precisamente, è una funzione analitica, come ogni altra funzione polinomiale da   in sè.
  • La tangente è una funzione di classe  , cioè in tutto il suo insieme di definizione.
  • La funzione   è di classe  ; essa appartiene a  , in quanto in   non è derivabile.
  • La funzione   è di classe   se  .

BibliografiaModifica

  • Cartan, H. Cours de calcul différentiel, nouv. éd., refondue et corr. Paris: Hermann, 1977.
  • S. Salsa, Equazioni a derivate parziali, Springer-Verlag Italia, Milano, 2004. ISBN 88-470-0259-1

Voci correlateModifica

Collegamenti esterniModifica

  Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica