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La classe laterale è un concetto matematico, utile nella teoria dei gruppi. Tramite questa nozione si definiscono i concetti di sottogruppo normale e di gruppo quoziente.

DefinizioneModifica

Sia   un gruppo e sia   un suo sottogruppo e  . La classe laterale destra (o più semplicemente il laterale destro) di   in   rappresentato da   è l'insieme:

 

Simmetricamente si definisce la classe laterale sinistra (o laterale sinistro) di   in   rappresentato da   come l'insieme:

 

Descrizione tramite classi di equivalenzaModifica

È possibile descrivere ogni classe laterale destra come una classe d'equivalenza rispetto alla relazione d'equivalenza   definita in   ponendo per  :

 

La classe di equivalenza contenente l'elemento   è proprio  : infatti  , dove   è l'elemento neutro di  : quindi   perché   è un sottogruppo.

Anche ogni classe laterale sinistra può essere definita con una relazione di equivalenza analoga:

 

ProprietàModifica

Si verifica che in ogni gruppo le classi laterali sinistre sono tante quante le classi laterali destre: tale numero, sia esso finito o infinito, è detto indice del sottogruppo   nel gruppo  , e si indica talvolta con  . Inoltre due qualsiasi classi laterali possono essere facilmente messe in corrispondenza biunivoca: da ciò deriva che esse hanno tutte la stessa cardinalità.

In particolare, se   è finito e ha   elementi, e una classe laterale ha   elementi, si ha  : quindi l'indice del sottogruppo   e la cardinalità di una sua classe laterale sono divisori della cardinalità di G. In particolare questo è vero per il sottogruppo  , comunque esso venga scelto, perché esso corrisponde alla classe laterale  , con   elemento neutro di  .

In generale le classi laterali sinistre e le classi laterali destre di un sottogruppo di un gruppo costituiscono due collezioni diverse; in altre parole le due equivalenze indotte sono diverse. Un sottogruppo   di G che definisce una unica partizione, cioè tale che  , si dice sottogruppo normale di G; esso consente la definizione di un gruppo quoziente i cui elementi sono le classi laterali sinistre o, indifferentemente, quelle destre.

BibliografiaModifica

Collegamenti esterniModifica

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