In analisi matematica, la classe limite è un concetto legato a quello di sottosuccessione e limite di una successione. Si tratta dell'insieme dei valori cui è possibile far tendere una sottosuccessione di una data successione, e come tale può essere di cardinalità finita o infinita, ma non l'insieme vuoto.

Definizione

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Sia   una successione di numeri reali; si dice che   è un valore limite della successione se esiste una sottosuccessione   per cui

 .

Non è necessario che la successione sia regolare (cioè convergente o divergente); infatti anche una successione irregolare ammette sempre sottosuccessioni regolari.

La classe limite della successione è l'insieme dei valori limite[1]; cioè, se   indica la classe limite di  :

 .
  •  ;
In questo caso  ; infatti  , quindi una sottosuccessione può constare solo dei valori  ; le sottosuccessioni banali del tipo  , ad esempio, ammettono come valori limite   rispettivamente.
  •  ;
In questo caso  ; infatti  , e una sottosuccessione deve valere definitivamente zero o in alternativa non essere limitata.

Proprietà

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La classe limite di una successione non è mai vuota. Infatti, se   è limitata, allora la sua chiusura è compatta, e quindi la successione ammette una sottosuccessione convergente (teorema di Bolzano-Weierstrass). Se invece non è limitata superiormente (o inferiormente), si può trovare una sottosuccessione del tipo   con

 

(o

 )

che ammette come limite   (o  ).

L'intersezione tra la classe limite e l'insieme dei numeri reali (cioè la classe limite cui sono stati tolti eventualmente i punti all'infinito) è un insieme chiuso. Infatti, se   è di accumulazione per  , allora esistono   che avvicinano indefinitamente  ; questi   sono limiti di sottosuccessioni di  , quindi possiamo trovare una sottosuccessione che si avvicina indefinitamente ad  , usando come "paletti" i valori limite   (cui possiamo avvicinarci a piacere per sottosuccessioni).

Inoltre la classe limite, intesa come sottoinsieme di   (il cosiddetto   esteso) ammette sempre massimo e minimo; infatti, se   è illimitata (ad esempio superiormente), allora  , e  ; altrimenti, se   è limitata (ad esempio superiormente), allora lo è anche   (o esisterebbe un valore limite strettamente maggiore dell'estremo superiore della successione), e poiché   è chiuso, esso contiene il proprio superiore, e quindi ammette massimo. Un analogo ragionamento prova che la classe limite ammette minimo.[1]

Limite superiore e limite inferiore

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Data una successione, si definisce limite superiore di tale successione il massimo della sua classe limite[1]:

 ;

similmente si definisce il limite inferiore di tale successione il minimo della sua classe limite:

 .

È chiaro, per le argomentazioni del paragrafo precedente, che tali valori esistono sempre. In generale, essi saranno differenti (ovviamente si avrà  ); se tuttavia questi valori coincidono, se cioè la classe limite consta di un solo elemento, allora tutte le sottosuccessioni convergono allo stesso valore limite. Questa è condizione necessaria e sufficiente per garantire la convergenza della successione principale, cioè:

 ,

dove   indica la cardinalità dell'insieme.

  1. ^ a b c Soardi, P.M., pp. 111-114.

Bibliografia

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Voci correlate

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