Rappresentazione matriciale delle coniche

In geometria, una sezione conica può essere rappresentata in forma matriciale, ossia attraverso l'impiego di matrici.

Invarianti delle coniche

È possibile definire tre valori associati ad ogni conica, che si definiscono invarianti. Data una conica di equazione:

$\Gamma \left(x,y\right):ax^{2}+2bxy+cy^{2}+2dx+2ey+f=0\;$

è possibile associare due matrici A e B:

$A={\begin{bmatrix}a&b&d\\b&c&e\\d&e&f\end{bmatrix}},B={\begin{bmatrix}a&b\\b&c\end{bmatrix}}$

da cui vengono calcolati tre numeri:

• l'invariante cubico $I_{3}$, determinante della matrice $A$:

$I_{3}=\det(A)=\det {\begin{bmatrix}a&b&d\\b&c&e\\d&e&f\end{bmatrix}}$ = $a(cf-e^{2})-b(bf-de)+d(be-cd)\;$

• l'invariante quadratico $I_{2}$, determinante della matrice $B$:

$I_{2}=\det(B)=\det {\begin{bmatrix}a&b\\b&c\end{bmatrix}}$ = $ac-b^{2}$

• l'invariante lineare $I_{1}$, traccia della matrice $B$:

$I_{1}=\operatorname {tr} {\begin{bmatrix}a&b\\b&c\end{bmatrix}}$ = $a+c$

L'appellativo "invariante" deriva dal fatto che applicando alla conica una traslazione qualsiasi e/o una rotazione qualsiasi, questi numeri non cambiano.

Gli appellativi "cubico", "quadratico" e "lineare" derivano dal fatto che moltiplicando entrambi i membri dell'equazione della conica per un numero reale non nullo p, gli invarianti risultano moltiplicati rispettivamente per $p^{3}$, $p^{2}$ e $p$. Data l'equazione della conica $\Gamma (x,y)=0$, detti $I_{3}$, $I_{2}$ e $I_{1}$ gli invarianti di tale conica e detti $I_{3}'$, $I_{2}'$ e $I_{1}'$ gli invarianti della conica di equazione $p\cdot \Gamma (x,y)=0$ con $p\neq 0$, si hanno le seguenti identità:

$I_{3}'=p^{3}I_{3}$ (invariante cubico)

$I_{2}'=p^{2}I_{2}$ (invariante quadratico)

$I_{1}'=pI_{1}$ (invariante lineare)

Classificazione metrica delle coniche

Basandosi sugli invarianti è possibile classificare le coniche, e quindi stabilire che tipo di oggetto sia, se:

• $I_{3}=0$ la conica è degenere e, in particolare, se:
  • $I_{2}<0$, si riduce a due rette reali distinte
  • $I_{2}=0$, si riduce a
    • coppia di rette reali distinte parallele oppure complesse coniugate senza punti comuni (rango matrice completa =2)
    • coppia di rette reali coincidenti (rango matrice completa =1)
  • $I_{2}>0$, si riduce a due rette immaginarie coniugate.
• $I_{3}\neq 0$ la conica è non degenere e, in particolare, se:
  • $I_{2}<0$ è un'iperbole
    • equilatera se $I_{1}=0$
    • non equilatera se $I_{1}\neq 0$
  • $I_{2}=0$ è una parabola
  • $I_{2}>0$ è un'ellisse
    • reale se è $I_{1}I_{3}<0$
    • immaginaria se è $I_{1}I_{3}>0$

Ad esempio, la conica di equazione:$x^{2}-x=0$, avendo $I_{3}=0$ e $I_{2}<0$, è una conica degenere in due rette reali distinte: $x=0$ e $x=1$.

Riduzione di una conica a forma canonica

Essendo fornita l'equazione di una conica del tipo

$ax^{2}+2bxy+cy^{2}+2dx+2ey+f=0\;$

è possibile agire sui coefficienti, tramite gli invarianti, per ottenere la forma canonica della conica. Per forma canonica di una conica, si intende:

• per l'ellisse: deve avere come centro l'origine degli assi cartesiani e i suoi fuochi devono essere sull'asse $x\;$ o sull'asse $y\;$
• per la parabola: deve avere vertice nell'origine e come asse uno degli assi cartesiani
• per l'iperbole: deve avere centro nell'origine degli assi e i fuochi devono appartenere all'asse $x\;$ o all'asse $y\;$.

In generale un'equazione del tipo:$ax^{2}+2bxy+cy^{2}+2dx+2ey+f=0\;$, fornisce una conica rototraslata rispetto all'origine degli assi: bisogna quindi ruotare la conica (1º passo) e poi traslarla fino a portare il centro o il vertice nell'origine (2º passo).

• 1º passo: la rotazione della conica si ottiene tramite l'annullamento del coefficiente di $xy\;$, cioè $2b\;$.

Dopo questa operazione, la conica si riduce nella forma $\lambda _{1}x^{2}+\lambda _{2}y^{2}+2dx+2ey+f=0\;$, in cui $\lambda _{1}\;$ e $\lambda _{2}\;$ si ottengono nel seguente modo: bisogna diagonalizzare la matrice

$B={\begin{bmatrix}a&b\\b&c\end{bmatrix}}$

e si otterrà la matrice

$B'={\begin{bmatrix}\lambda _{1}&0\\0&\lambda _{2}\end{bmatrix}}$

con $\lambda _{1}\;$ e $\lambda _{2}\;$ autovalori della matrice diagonale.

$\lambda _{1}\;$ e $\lambda _{2}\;$ sono i coefficienti dei termini quadratici dell'equazione della conica. Nel caso della parabola, o $\lambda _{1}\;$ o $\lambda _{2}\;$ sarà nullo, in quanto nell'equazione è presente un solo termine quadratico.

• 2º passo: con la traslazione, se la conica è a centro (un'ellisse o un'iperbole), si ottiene un'equazione del tipo: $\lambda _{1}x^{2}+\lambda _{2}y^{2}+\lambda _{3}=0\;$ in cui $\lambda _{1}\;$ e $\lambda _{2}\;$ sono i valori ricavati con il passo precedente, mentre $\lambda _{3}\;$ si ottiene nella maniera seguente:

$\lambda _{3}={\frac {I_{3}}{I_{2}}}\;$ .

Se la conica è una parabola, si ottiene un'equazione del tipo: $\lambda _{1}x^{2}+2\lambda _{3}y=0\;$ in cui: $\lambda _{1}\;$ è l'autovalore non nullo e $\lambda _{3}=\pm {\sqrt {\left|{\frac {I_{3}}{\lambda _{1}}}\right|}}\;$ con $I_{3}$ invariante cubico. Notiamo esplicitamente che per le parabole: $\lambda _{1}=I_{1}=a+c\;$

Esempi

Ellisse

Conica di equazione $9x^{2}-4xy+6y^{2}-3=0$

Canonica della conica $9x^{2}-4xy+6y^{2}-3=0$

È data la conica di equazione $\Gamma (x,y)=9x^{2}-4xy+6y^{2}-3=0$; studiando i determinanti di $A$ e $B$ scopriamo che è un'ellisse. Controllando le derivate parziali dell'equazione, mettendole a sistema ed uguagliandole a 0, otteniamo l'attuale centro dell'ellisse:

$\left\{{\begin{matrix}{\partial \Gamma \over \partial x}=18x-4y=0\\{\partial \Gamma \over \partial y}=-4x+12y=0\end{matrix}}\right.\Rightarrow C(0,0)$

Poiché il centro si trova già nell'origine non ci sarà bisogno di traslare la conica. Per ottenere la forma canonica dobbiamo ruotare la conica diagonalizzando $B$; gli autovalori della forma quadratica sono 5 e 10 e gli autovettori rispettivi sono (1,2) e (-2,1). Incolonnando questi autovettori opportunamente normalizzati in una matrice $P$ otteniamo una matrice di rotazione (destrorsa, poiché $det(P)=1$):

$P={\begin{bmatrix}{1 \over {\sqrt {5}}}&{-2 \over {\sqrt {5}}}\\{2 \over {\sqrt {5}}}&{1 \over {\sqrt {5}}}\end{bmatrix}}=\left({\frac {1}{\sqrt {5}}}\right){\begin{bmatrix}1&-2\\2&1\end{bmatrix}}$

Poiché $(x,y)^{T}=P({\tilde {x}},{\tilde {y}})^{T}$, si può scrivere:

$\left\{{\begin{matrix}x={\frac {1}{\sqrt {5}}}({\tilde {x}}-2{\tilde {y}})\\y={\frac {1}{\sqrt {5}}}(2{\tilde {x}}+{\tilde {y}})\end{matrix}}\right.$

Andando a sostituire nell'equazione originale della conica otteniamo la nuova equazione $5{\tilde {x}}^{2}+10{\tilde {y}}^{2}-3=0$, che è la stessa conica di partenza ruotata però in maniera da avere i fuochi (in questo caso) sull'asse $x$. La forma canonica della nostra conica è ${5 \over 3}X^{2}+{10 \over 3}Y^{2}=1$, con fuochi $F_{1}=\left(-{\sqrt {\frac {3}{10}}},0\right),F_{2}=\left({\sqrt {\frac {3}{10}}},0\right)$

Iperbole

Conica di equazione $4xy+3y^{2}+2x+4y=0$

Canonica della conica $4xy+3y^{2}+2x+4y=0$

È data la conica di equazione $\Gamma (x,y)=4xy+3y^{2}+2x+4y=0$; studiando i determinanti di $A$ e $B$ scopriamo che è un'iperbole. Controllando le derivate parziali dell'equazione, mettendole a sistema ed uguagliandole a 0, otteniamo l'attuale centro dell'iperbole:

$\left\{{\begin{matrix}{\partial \Gamma \over \partial x}=4y+2=0\\{\partial \Gamma \over \partial y}=4x+6y+4=0\end{matrix}}\right.\Rightarrow C\left(-{\frac {1}{4}},-{\frac {1}{2}}\right)$

Gli asintoti sono le rette passanti per $C$ parallele a quelle ottenute scomponendo la forma quadratica della conica:

$4xy+3y^{2}=y(4x+3y)$
$\Rightarrow r_{1}:y=-{\frac {1}{2}}$
$\Rightarrow r_{2}:4x+3y=4\left(-{\frac {1}{4}}\right)+3\left(-{\frac {1}{2}}\right)=-{\frac {5}{2}}$

Per ottenere la forma canonica si può impiegare la formula

$\lambda _{1}X^{2}+\lambda _{2}Y^{2}+\left({\frac {I_{3}}{I_{2}}}\right)=0$,

con $\lambda _{1}=4,\lambda _{2}=-1$ autovalori di $B$ ed è:

$4X^{2}-Y^{2}-{\frac {5}{4}}=0$

I nuovi asintoti sono le due rette aventi forma $x=y\left({\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\right)$ e passanti per l'origine:

$r'_{1}:x={\frac {y}{2}}$
$r'_{2}:x=-{\frac {y}{2}}$

I fuochi della forma canonica hanno forma $(\pm {\sqrt {a^{2}+b^{2}}},0)$ e sono dunque:

$F_{1}=\left(-{\frac {5}{4}},0\right)$
$F_{2}=\left({\frac {5}{4}},0\right)$

Parabola

Conica di equazione $x^{2}+2xy+y^{2}-8x=0$

Canonica della conica $x^{2}+2xy+y^{2}-8x=0$

È data la conica di equazione $\Gamma (x,y)=x^{2}+2xy+y^{2}-8x=0$; studiando $I_{3}$ e $I_{2}$ scopriamo che è una parabola. Diagonalizzando $B$ troviamo come autovalori 0 e 2 e come autovettori rispettivi (1,-1) e (1,1). Per trovare il vertice $V$ intersechiamo la parabola con una retta ortogonale all'asse della conica: poiché l'asse della parabola è una retta passante per il vertice $V$ di direzione parallela all'autovettore relativo all'autovalore nullo (in questo caso (1,-1)), una retta ad essa parallela è senz'altro $x=-y$, quindi una retta ad essa ortogonale è $x=y$. Dall'intersezione si trovano i punti $A$(0,0) e $B$(2,2); il loro punto medio $M$(1,1) si trova sull'asse. L'asse è quindi la retta parallela a $x=-y$ passante per $M$ ed è $x+y=2$. Intersecando ora l'asse con la parabola troviamo il vertice: $V(1/2,3/2)$. Traslando in modo che $V$ sia centrato sull'origine:

$\left\{{\begin{matrix}{\tilde {x}}=x-{\frac {1}{2}}\\{\tilde {y}}=y-{\frac {3}{2}}\end{matrix}}\right.$

l'equazione diventa:

$({\tilde {x}}+{\tilde {y}})^{2}-4{\tilde {x}}+4{\tilde {y}}=0$

La matrice $P$ è matrice di rotazione composta dai due autovettori normalizzati (autoversori):

$P={\begin{bmatrix}{1 \over {\sqrt {2}}}&{-1 \over {\sqrt {2}}}\\{1 \over {\sqrt {2}}}&{1 \over {\sqrt {2}}}\end{bmatrix}}=\left({\frac {1}{\sqrt {2}}}\right){\begin{bmatrix}1&-1\\1&1\end{bmatrix}}$

Poiché $(x,y)^{T}=P({\tilde {x}},{\tilde {y}})^{T}$, si può scrivere:

$\left\{{\begin{matrix}x={\frac {1}{\sqrt {2}}}({\tilde {x}}-{\tilde {y}})\\y={\frac {1}{\sqrt {2}}}({\tilde {x}}+{\tilde {y}})\end{matrix}}\right.$

Andando a sostituire otteniamo la forma canonica $2{\sqrt {2}}X=Y^{2}$, con fuoco $F\left({\frac {\sqrt {2}}{2}},0\right)$ e direttrice $d:x=-{\frac {\sqrt {2}}{2}}$

Voci correlate

• Autovettore e autovalore
• Determinante
• Diagonalizzabilità
• Matrice
• Sezione conica

Collegamenti esterni

• Coniche con GeoGebra, su geogebratube.org.