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In matematica, il coefficiente binomiale (che si legge " su ") è un numero intero non negativo definito dalla seguente formula

(dove è il fattoriale di ) e può essere calcolato anche facendo ricorso al triangolo di Tartaglia. Alla voce Combinazione è dimostrato che esso fornisce il numero delle combinazioni semplici di elementi di classe .

Per esempio:

è il numero di combinazioni di elementi presi alla volta.

Indice

ProprietàModifica

Il coefficiente binomiale ha le seguenti proprietà:

  •  
Dimostrazione formale:
 
 
Dimostrazione combinatoria: le combinazioni di   elementi di lunghezza   o   sono evidentemente una sola: rispettivamente l'insieme vuoto o l'intero insieme di   elementi.
  •  
Dimostrazione formale:
 
Dimostrazione combinatoria: vi sono evidentemente   modi per scegliere un elemento tra   o per tralasciarne uno.
  •  
Dimostrazione formale:
 
Dimostrazione combinatoria: le scelte di   elementi sono in corrispondenza biunivoca con i sottoinsiemi degli   elementi tralasciati.
  •  , ovvero:  
(proprietà che permette di costruire i coefficienti binomiali con il triangolo di Tartaglia. Inoltre, tale proprietà può essere utile per dimostrare che   è un numero intero non negativo usando il principio d'induzione su  , con l'ipotesi per cui   appartiene ai numeri interi non negativi per ogni   tale che  , e come tesi che lo stesso valga per  ; per   abbiamo che  ).
Dimostrazione formale:
 
considerando il fatto che
 , ed allo stesso modo  
si ha
 
 
e quindi
 
 
ovvero la tesi.
Dimostrazione combinatoria: Per calcolare il numero di combinazioni semplici di   elementi di lunghezza  , scegliamo uno degli   elementi, che chiameremo Pippo, e dividiamo le combinazioni in due classi: quelle che non contengono Pippo e quelle che lo contengono. Le cardinalità delle due classi sono evidentemente date dai due termini del secondo membro della formula che volevamo dimostrare.
  •  
Dimostrazione formale:
partendo dal teorema binomiale abbiamo:
 
ovvero la tesi.
Dimostrazione combinatoria:
  è il numero dei sottoinsiemi di un insieme di   elementi. Possiamo dividere tali sottoinsiemi in classi, ponendo in ogni classe quelli di una data cardinalità. Poiché i sottoinsiemi di cardinalità   sono proprio  , si ottiene subito la tesi.

ApplicazioniModifica

  • Il teorema binomiale, o binomio di Newton, utilizza il coefficiente binomiale per esprimere lo sviluppo di una potenza  -esima di un binomio qualsiasi secondo la seguente formula:
 
  • Il numero di diagonali di un poligono convesso di   lati può essere espresso secondo la seguente formula:  
  • Dato un insieme  , tale che  , si utilizza il coefficiente binomiale per calcolare la cardinalità dell'insieme delle parti di  ,  :
 
  • La potenza n di un numero intero x può essere espressa con la sommatoria di tutte le possibili produttorie di x-1 coefficienti binomiali, con n >= a >= b >= c ... i >= j >= k >= l

 . Esempio:  

EstensioniModifica

Si può estendere il coefficiente binomiale al caso che   sia negativo, oppure maggiore di  , ponendo:

  oppure  

Si può anche estendere il coefficiente ai numeri reali. A tale scopo, può convenire iniziare con l'osservazione che il coefficiente binomiale è anche il rapporto tra il numero delle funzioni iniettive da un insieme di cardinalità   in uno di cardinalità   (ovvero il numero delle disposizioni semplici di   oggetti di classe  ) ed il numero delle permutazioni di   oggetti:

 

Si può porre:

 

ad esempio,

 

Con tale convenzione, si ha:

 

ad esempio:

 

Caso particolareModifica

Si può notare che per   il coefficiente binomiale equivale alla somma dei primi   numeri naturali:

 

BibliografiaModifica

  • Mauro Cerasoli, Franco Eugeni; Marco Protasi, Elementi di matematica discreta, Bologna, Zanichelli, 1988.
  • Giorgio Dall'Aglio, Calcolo delle probabilità, Bologna, Zanichelli, 2003.
  • Sheldon M. Ross, Calcolo delle probabilità, Milano, Apogeo, 2004.
  • Saunders Mac Lane, Garrett Birkhoff, Algebra, Milano, Mursia 1998

Voci correlateModifica

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