Confronto tra metodo delle secanti e metodo delle tangenti

In matematica e più specificamente in analisi numerica, il metodo delle secanti e il metodo delle tangenti sono metodi largamente utilizzati per il calcolo approssimato di una soluzione di un'equazione della forma $f(x)=0$.

Il metodo delle secanti è un semplice metodo convergente, ma generalmente è molto lento, richiede molti passi per raggiungere una precisione accettabile, mentre il metodo delle tangenti è più veloce (fornisce buoni risultati in pochi passi).

Se $f'(x)\cdot f''(x)>0$, quindi se $\,f(x)$ è decrescente e concava (fig. 1) oppure se $\,f(x)$ è crescente e convessa.

Il metodo delle tangenti costruisce una successione $\,\{x_{n}\}$ decrescente che approssima per eccesso la radice.

Il metodo delle secanti costruisce una successione $\,\{x_{m}\}$ crescente che approssima per difetto la radice.

Se $f'(x)\cdot f''(x)<0$ quindi se $\,f(x)$ è crescente e concava (fig. 3) oppure $\,f(x)$ è decrescente e convessa.

Il metodo delle tangenti costruisce una successione $\,\{x_{n}\}$ crescente che approssima per difetto la radice.

Il metodo delle secanti costruisce una successione $\,\{x_{m}\}$ decrescente che approssima per eccesso la radice.

Quindi usati insieme, i due metodi, forniscono approssimazioni per eccesso e per difetto dell'unica radice dell'equazione $\,f(x)=0$.

È possibile perciò, ove la funzione $f$ verifichi le ipotesi, utilizzare contemporaneamente i due metodi, iterando l'applicazione di essi finché i valori approssimati per eccesso e per difetto distino meno della precisione ε scelta.

Primo esempio

Esempio 1: determinare le radici di $\,x^{3}-2x-2=0$ a meno di $\,10^{-4}$.

La funzione è definita e continua in $\mathbb {R}$, inoltre, poiché ${\mathop {\lim _{x\to +\infty }} {f\left({x}\right)}}=+\infty$ e ${\mathop {\lim _{x\to -\infty }} {f\left({x}\right)}}=-\infty$ la curva incontra l'asse delle $x$ in almeno un punto.

Dallo studio delle derivate prima e seconda $\,f'(x)=3x^{2}-2$ e $\,f''(x)=6x$ si ricava che la funzione ha un massimo relativo in $\left(-{\sqrt {\frac {2}{3}}}\,,\,{\frac {4}{3}}{\sqrt {\frac {2}{3}}}-2\right)$, un minimo relativo in $\left({\sqrt {\frac {2}{3}}}\,,\,-{\frac {4}{3}}{\sqrt {\frac {2}{3}}}-2\right)$ e un flesso a tangente obliqua in $\,(0,-2)$ e quindi la curva interseca l'asse delle $x$ in un solo punto. Inoltre $\,f(1)=-3<0$ e $\,f(2)=2>0$; perciò $\,1<\alpha <2$. Sono soddisfatte le condizioni richieste per potere usare i metodi delle tangenti e delle secanti.

Applicando il metodo delle tangenti, essendo $\,f(x)$ crescente e convessa nell'intervallo $\,[1,2]$ si trovano valori approssimati per eccesso. Si traccia la tangente in $\,B$, in quanto è in esso che la funzione e la derivata seconda sono concordi. Utilizzando la seguente relazione di ricorrenza si ottiene

$x_{0}=b-{\frac {f(b)}{f'(b)}}=2-{\frac {f(2)}{f'(2)}}=1.8$

$x_{1}=x_{0}-{\frac {f(x_{0})}{f'(x_{0})}}=1.769948187$

$x_{2}=x_{1}-{\frac {f(x_{1})}{f'(x_{1})}}=1.769292663$

poiché risulta $\left|x_{2}-x_{1}\right|<10^{-3}$, iterando ulteriormente si ottiene

$x_{3}=x_{2}-{\frac {f(x_{2})}{f'(x_{2})}}=1.769292354$ da cui $\left|x_{3}-x_{2}\right|<10^{-6}$ e quindi $\,\alpha =1.769292$ è la radice approssimata per eccesso a meno $\,10^{-6}$ dopo 4 iterazioni.

Applicando il metodo delle secanti, essendo $\,A=(1,-3)$ e $\,B=(2,2)$ i punti dell'intervallo per cui passa la prima secante, dalla formula

$x_{n+1}=b-f(b){\frac {x_{n}-b}{f(x_{n})-f(b)}}$

si ricavano i seguenti valori approssimati per difetto:

$x_{0}=b-f(b){\frac {a-b}{f(a)-f(b)}})=1.6$

la seconda secante passa per i punti $\,B$ e $\,C=(x_{0},f(x_{0}))$ essendo $\,f(b)f(x_{0})=2(-0.0255)<0$ da cui

$x_{1}=b-f(b){\frac {x_{0}-b}{f(x_{0})-f(b)}})=1.742268$

$x_{2}=b-f(b){\frac {x_{1}-b}{f(x_{1})-f(b)}})=1.765259$

$x_{3}\,=\,1.768696$

$x_{4}\,=\,1.769204$

$x_{5}\,=\,1.769279$

dopo 6 iterazioni, essendo $\left|x_{5}-x_{4}\right|<10^{-4}$, $\,\alpha =1.7692$ è la radice approssimata per difetto a meno $\,10^{-4}$. Confrontando i valori ottenuti con i due metodi, si osserva che il valore $\,\alpha =1.7692$ è esatto alla quarta cifra decimale.

Secondo esempio

Esempio 2: determinare le radici di $\,e^{-x}-x+1=0$ a meno di $\,10^{-4}$

Sia $\,f(x)=e^{-x}-x+1$. Si scrive l'equazione nella forma $\,e^{-x}=x-1$e si considerano le funzioni di equazioni $\,y=e^{-x}$ e $\,y=x-1$.

Dalla rappresentazione grafica in uno stesso sistema di riferimento cartesiano delle due funzioni, si ricava che le due curve si intersecano nel solo punto $P$, pertanto l'equazione ammette una sola radice, che è l'ascissa del punto $P$ ed essendo $\,f(1)={\frac {1}{e}}>0$ e $\,f(2)={\frac {1}{e^{2}}}-1<0$, tale radice appartiene all'intervallo $\,[1,2]$. Dallo studio delle derivate prima e seconda, la funzione $\,f$ è decrescente e convessa nell'intervallo $\,[1,2]$; quindi utilizzando il metodo delle tangenti, partendo dall'estremo $A=\left(1,{\frac {1}{e}}\right)$in cui la funzione $\,f$ e la derivata seconda sono concordi si ricavano le seguenti approssimazioni per difetto

$x_{0}=a-{\frac {f(a)}{f'(a)}}=1-{\frac {f(1)}{f'(1)}}=1.268941$

$x_{1}=x_{0}-{\frac {f(x_{0})}{f'(x_{0})}}=1.278455$

$x_{2}=x_{1}-{\frac {f(x_{1})}{f'(x_{1})}}=1.278465$

poiché risulta $\left|x_{2}-x_{1}\right|<10^{-4}$ si ottiene che il valore approssimato per difetto della radice a meno di $10^{-4}$ è $\alpha =1.2784$ dopo 3 iterazioni.

Applicando il metodo delle secanti essendo $A=\left(1,{\frac {1}{e}}\right)$ e $B=\left(2,{\frac {1-e^{2}}{e^{2}}}\right)$ i punti dell'intervallo per cui passa la prima secante, si ottengono i seguenti valori approssimati per eccesso: $\,x_{0}=a-f(a){\frac {b-a}{f(b)-f(a)}}=1.298472$.

La seconda secante passa per i punti $\,A$ e $\,C=(x_{0},f(x_{0}))$ essendo $f(a)f(x_{0})={\frac {1}{e}}(-0.0255)<0$ da cui

$x_{1}=a-f(a){\frac {x_{0}-a}{f(x_{0})-f(a)}}=1.279108$

$x_{2}=a-f(a){\frac {x_{1}-a}{f(x_{1})-f(a)}}=1.278485$

$x_{3}=a-f(a){\frac {x_{2}-a}{f(x_{2})-f(a)}}=1.278465$ ;

essendo $\left|x_{3}-x_{2}\right|<10^{-4}$, $\,\alpha =1.2784$ è la radice approssimata per eccesso a meno di $\,10^{-4}$ dopo 4 iterazioni; questo valore coincide con quello trovato con il metodo delle tangenti, ma con un maggior numero di iterazioni.

Voci correlate

• Calcolo di uno zero di una funzione