Confronto tra metodo delle secanti e metodo delle tangenti

In matematica e più specificamente in analisi numerica, il metodo delle secanti e il metodo delle tangenti sono metodi largamente utilizzati per il calcolo approssimato di una soluzione di un'equazione della forma .

Il metodo delle secanti è un semplice metodo convergente, ma generalmente è molto lento, richiede molti passi per raggiungere una precisione accettabile, mentre il metodo delle tangenti è più veloce (fornisce buoni risultati in pochi passi).

Se , quindi se è decrescente e concava (fig. 1) oppure se è crescente e convessa.

Il metodo delle tangenti costruisce una successione decrescente che approssima per eccesso la radice.

Il metodo delle secanti costruisce una successione crescente che approssima per difetto la radice.

Se quindi se è crescente e concava (fig. 3) oppure è decrescente e convessa.

Il metodo delle tangenti costruisce una successione crescente che approssima per difetto la radice.

Il metodo delle secanti costruisce una successione decrescente che approssima per eccesso la radice.

Quindi usati insieme, i due metodi, forniscono approssimazioni per eccesso e per difetto dell'unica radice dell'equazione .

È possibile perciò, ove la funzione verifichi le ipotesi, utilizzare contemporaneamente i due metodi, iterando l'applicazione di essi finché i valori approssimati per eccesso e per difetto distino meno della precisione ε scelta.

Primo esempioModifica

Esempio 1: determinare le radici di   a meno di  .

La funzione è definita e continua in  , inoltre, poiché   e   la curva incontra l'asse delle   in almeno un punto.

Dallo studio delle derivate prima e seconda   e   si ricava che la funzione ha un massimo relativo in  , un minimo relativo in   e un flesso a tangente obliqua in   e quindi la curva interseca l'asse delle   in un solo punto. Inoltre   e  ; perciò  . Sono soddisfatte le condizioni richieste per potere usare i metodi delle tangenti e delle secanti.

Applicando il metodo delle tangenti, essendo   crescente e convessa nell'intervallo   si trovano valori approssimati per eccesso. Si traccia la tangente in  , in quanto è in esso che la funzione e la derivata seconda sono concordi. Utilizzando la seguente relazione di ricorrenza si ottiene

 

 

 

poiché risulta  , iterando ulteriormente si ottiene

  da cui   e quindi   è la radice approssimata per eccesso a meno   dopo 4 iterazioni.

Applicando il metodo delle secanti, essendo   e   i punti dell'intervallo per cui passa la prima secante, dalla formula

 

si ricavano i seguenti valori approssimati per difetto:

 

la seconda secante passa per i punti   e   essendo   da cui

 

 

 

 

 

dopo 6 iterazioni, essendo  ,   è la radice approssimata per difetto a meno  . Confrontando i valori ottenuti con i due metodi, si osserva che il valore   è esatto alla quarta cifra decimale.

Secondo esempioModifica

Esempio 2: determinare le radici di   a meno di  

Sia  . Si scrive l'equazione nella forma  e si considerano le funzioni di equazioni   e  .

Dalla rappresentazione grafica in uno stesso sistema di riferimento cartesiano delle due funzioni, si ricava che le due curve si intersecano nel solo punto  , pertanto l'equazione ammette una sola radice, che è l'ascissa del punto   ed essendo   e  , tale radice appartiene all'intervallo  . Dallo studio delle derivate prima e seconda, la funzione   è decrescente e convessa nell'intervallo  ; quindi utilizzando il metodo delle tangenti, partendo dall'estremo  in cui la funzione   e la derivata seconda sono concordi si ricavano le seguenti approssimazioni per difetto

 

 

 

poiché risulta   si ottiene che il valore approssimato per difetto della radice a meno di   è   dopo 3 iterazioni.

Applicando il metodo delle secanti essendo   e   i punti dell'intervallo per cui passa la prima secante, si ottengono i seguenti valori approssimati per eccesso:  .

La seconda secante passa per i punti   e   essendo   da cui

 

 

  ;

essendo  ,   è la radice approssimata per eccesso a meno di   dopo 4 iterazioni; questo valore coincide con quello trovato con il metodo delle tangenti, ma con un maggior numero di iterazioni.

Voci correlateModifica

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