Congettura di Beal

La congettura di Beal è una congettura della teoria dei numeri resa popolare dal miliardario texano e matematico amatoriale Andrew Beal. Analizzando diverse generalizzazioni dell'ultimo teorema di Fermat, nel 1993 Andrew Beal formulò la seguente congettura:

Se

A^{x}+B^{y}=C^{z}

, dove

A

,

B

,

C

,

x

,

y

e

z

sono interi positivi e

x,y,z>2

, allora

A

,

B

e

C

hanno un fattore primo in comune.

Per esempio, la soluzione 3³ + 6³ = 3⁵ ha tutte le basi divisibili per 3, e la soluzione 7⁶ + 7⁷ = 98³ ha le basi con il fattore comune 7. In effetti, ci sono infinite soluzioni le cui basi hanno un fattore in comune. Per esempio, l'identità

\left[a\left(a^{m}+b^{m}\right)\right]^{m}+\left[b\left(a^{m}+b^{m}\right)\right]^{m}=\left(a^{m}+b^{m}\right)^{m+1}

fornisce una soluzione per ogni $a$ , $b$ , $m>3$ . In questo caso, tutte le basi hanno il fattore comune $a^{m}+b^{m}$ .

Fino al 2006, non c'erano controesempi noti. Le ricerche sono state effettuate almeno fino a 1.000 in tutte le variabili.^[1]^[2]

La congettura di Beal è una generalizzazione dell'ultimo teorema di Fermat, che corrisponde al caso in cui $x=y=z$ . Se $a^{x}+b^{x}=c^{x}$ con $x\geq 3$ , allora o le basi sono coprime oppure hanno un fattore in comune. Se hanno un fattore in comune, allora, dividendole per il loro massimo comune divisore, si ottiene una soluzione più piccola con le basi coprime. In entrambi i casi, un controesempio dell'ultimo teorema di Fermat fornisce anche un controesempio della congettura di Beal.

La congettura non è valida nel più ampio dominio degli interi gaussiani. Dopo che era stato offerto un premio di $50 per un controesempio, Fred W. Helenius trovò che $(-2+i)^{3}+(-2-i)^{3}=(1+i)^{4}$ .^[3]