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Continuità assoluta delle funzioni realiModifica

In matematica, una funzione a valori reali di una variabile reale è assolutamente continua se per ogni numero positivo   piccolo a piacere esiste un numero positivo   tale che per ogni successione (finita o infinita) di sotto-intervalli   del dominio della funzione tali che:

 

che verificano:

 

si ha:[1]

 

Ogni funzione assolutamente continua risulta a variazione limitata e uniformemente continua e, di conseguenza, continua. Il viceversa non è necessariamente vero: la funzione di Cantor, ad esempio, è continua in tutto il suo dominio, ma non è assolutamente continua. Ogni funzione lipschitziana è assolutamente continua, mentre non è vero il viceversa:  per   è assolutamente continua, ma non lipschitziana.

Teorema fondamentale del calcolo integrale di LebesgueModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Teorema fondamentale del calcolo integrale.

Dato per ipotesi che una funzione sia a variazione limitata, l'assoluta continuità è condizione necessaria e sufficiente alla validità del teorema fondamentale del calcolo integrale.

Una funzione   definita sull'intervallo compatto   a valori in   è assolutamente continua se possiede una derivata   definita quasi ovunque e integrabile secondo Lebesgue tale che:

 

In modo equivalente, esiste una funzione   su   integrabile secondo Lebesgue tale che:

 

Tale definizione di assoluta continuità è detta teorema fondamentale del calcolo integrale di Lebesgue. Se le precedenti condizioni equivalenti sono verificate si ha:

 

quasi ovunque.

GeneralizzazioniModifica

Sia   uno spazio metrico e   un intervallo. Una funzione   è assolutamente continua su   se per ogni numero positivo   esiste un numero positivo   tale che, se una sequenza finita di sotto-intervalli mutuamente disgiunti   di   soddisfa:

 

allora:

 

L'insieme delle funzioni assolutamente continue da   a   è denotato con  .

Un'ulteriore generalizzazione è lo spazio   delle curve   tali che:

 

per qualche   nello spazio  .

Continuità assoluta delle misureModifica

Se   e   sono misure sulla stessa sigma-algebra, la misura   si dice assolutamente continua rispetto a   se   per ogni insieme   per il quale  . Questa situazione viene presentata con la scrittura  .[2]

In modo equivalente, per ogni   esiste   tale che:

 

per ogni insieme   della sigma-algebra tale che:[3]

 

ProprietàModifica

Se esiste un insieme   tale per cui:

 

per ogni insieme   della sigma-algebra, allora tale misura si dice concentrata su  .

Misure concentrate su insiemi rispettivamente disgiunti sono dette mutuamente singolari. In particolare, se   e   sono mutuamente singolari si scrive  .

Un teorema di particolare importanza nell'ambito della continuità assoluta delle misure afferma che se   e   sono due misure limitate, allora esiste un'unica coppia di misure positive   tali che:

 

La decomposizione:

 

è detta decomposizione di Lebesgue di   relativamente a  , ed è unica.[4]

Il teorema di Radon-Nikodym afferma inoltre che esiste un'unica funzione   tale che:

 

per ogni insieme   della sigma-algebra. Il teorema stabilisce, in particolare, che esiste una funzione misurabile   a valori in  , denotata con:

 

tale che per ogni insieme misurabile A si ha:

 

La funzione   si dice derivata di Radon-Nikodym di   rispetto  .

Collegamento fra continuità assoluta delle funzioni reali e delle misureModifica

Una misura   sui sottoinsiemi di Borel della retta reale è assolutamente continua rispetto alla misura di Lebesgue se e solo se la funzione:

 

è una funzione reale assolutamente continua.

NoteModifica

  1. ^ W. Rudin, Pag. 165.
  2. ^ W. Rudin, Pag. 121.
  3. ^ W. Rudin, Pag. 125.
  4. ^ W. Rudin, Pag. 122.

BibliografiaModifica

  • Walter Rudin, Real and Complex Analysis, Mladinska Knjiga, McGraw-Hill, 1970, ISBN 0-07-054234-1.

Voci correlateModifica

Collegamenti esterniModifica

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