Continuità uniforme

In matematica, in particolare in analisi matematica, una funzione uniformemente continua è un caso speciale di funzione continua. Intuitivamente una funzione è uniformemente continua se una piccola variazione del punto comporta una piccola variazione dell'immagine (quindi è continua), e la misura della variazione di dipende solo dalla misura della variazione di , ma non dal punto stesso.

La continuità uniforme è quindi una proprietà globale della funzione, contrariamente alla continuità semplice che è una proprietà locale. Infatti quando si dice che una funzione è continua, si intende semplicemente che è continua in ogni punto del suo dominio. Non ha invece alcun senso affermare che una funzione è uniformemente continua in un punto.

DefinizioneModifica

Nel caso specifico di una funzione  , dove   è un intervallo, si dice che   è uniformemente continua se per ogni numero reale   esiste un numero reale   tale che per ogni   con   (cioè "sufficientemente vicini l'uno all'altro") si ha[1]

 

Diversamente dalla continuità semplice la distanza   dipende quindi unicamente dalla distanza   e non dal punto   o  .

La definizione di cui sopra si può immediatamente generalizzare ad arbitrari spazi metrici: dati due spazi metrici   e  , si dice che una funzione   è uniformemente continua se per ogni   esiste un   tale che, comunque scelti due punti   che soddisfano  , allora si ha:[2]

 

EsempiModifica

 
Grafico della funzione  , che non è uniformemente continua in  .

Esempi di funzioni uniformemente continue sono la funzione costante, l'identità o una qualsiasi funzione lineare; altri esempi sono le funzioni derivabili in un convesso la cui derivata è limitata (ad esempio le funzioni seno e coseno).

Al contrario, i polinomi di grado maggiore di   non sono funzioni uniformemente continue sull'intera retta reale, sebbene lo siano sugli insiemi limitati: data ad esempio la funzione  , infatti, per ogni   la differenza:

 

tende ad infinito per  .

Un analogo ragionamento può essere usato per dimostrare che la funzione   non è uniformemente continua nell'intervallo  , mostrando che funzioni continue su un limitato non sono necessariamente uniformemente continue. Neppure aggiungendo l'ipotesi che la funzione sia limitata si ottengono funzioni uniformemente continue: ad esempio la funzione   (sempre nell'intervallo  ) non è uniformemente continua, perché in ogni intervallo   si possono trovare   tali che  .

Condizioni sufficienti per la continuità uniformeModifica

Il teorema di Heine-Cantor afferma che le funzioni continue su un compatto (in   un insieme chiuso e limitato) sono uniformemente continue su tale compatto;[2] il teorema può essere esteso a comprendere anche insiemi non compatti, purché la funzione tenda (per  ) ad un limite finito oppure ammetta un asintoto obliquo.

Inoltre, ogni funzione lipschitziana   è uniformemente continua: dato  , si può scegliere  , dove   è una costante di Lipschitz di  . La lipschizianità è una condizione sufficiente ma non necessaria per l'uniforme continuità (si veda il seguente esempio).

EsempioModifica

Si prenda  . Essa non è lipschitziana in  , ma lo è in qualunque insieme del tipo   (la sua derivata, infatti, si mantiene in questo caso limitata, il che è sufficiente per la lipschitzianità). Pertanto,   è uniformemente continua in questi intervalli.

D'altra parte, attorno a   (ossia in un intervallo del tipo  , complementare degli intervalli suddetti), si può garantire l'uniforme continuità di   (continua e definita in un compatto).

Combinando questi risultati, otteniamo che   è uniformemente continua in  , pur non essendo lipschitziana.

Altre proprietàModifica

Una funzione uniformemente continua in un insieme   lo è anche in ogni sottoinsieme  ; non vale il viceversa (ad esempio,   è uniformemente continua in ogni intervallo limitato ma non negli intervalli illimitati).

L'immagine di un intervallo limitato secondo una funzione uniformemente continua è limitato.

NoteModifica

  1. ^ E. Giusti, p. 155.
  2. ^ a b P. M. Soardi, p. 186-187.

BibliografiaModifica

Voci correlateModifica

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