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Contrazione (matematica)

funzione da uno spazio metrico
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In matematica, una contrazione o applicazione di contrazione è una funzione da uno spazio metrico in se stesso tale che la distanza tra l'immagine di due elementi qualsiasi del dominio sia inferiore alla distanza delle relative controimmagini.

Definizione formaleModifica

Sia   uno spazio metrico. Si definisce contrazione una funzione   tale che esiste una costante reale   che soddisfa la seguente condizione:[1]

 

Il più piccolo valore di   per cui vale tale condizione è detto costante di Lipschitz di  .

Alcuni autori definiscono la precedente condizione contrazione stretta, riservando il termine "contrazione" alla proprietà:[2]

 

ProprietàModifica

Ogni contrazione è lipschitziana, e quindi uniformemente continua su  . Sia infatti   tale che esista un numero reale   per cui valga per ogni  

 

se   si ricade nel caso di contrazione.

Inoltre, per ogni   esiste   tale che:

 

È sufficiente porre   per ottenere la definizione di uniforme continuità.

Il teorema delle contrazioniModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Teorema delle contrazioni.

Sia   uno spazio metrico completo non vuoto. Sia   una contrazione su  . Allora la mappa   ammette uno e un solo punto fisso.[2]

Il teorema assicura che se   è uno spazio metrico completo e non vuoto, allora il punto fisso esiste ed è unico e che, fissato un qualunque   in  , la successione definita per ricorrenza   converge al punto fisso. Tale teorema è usato nella dimostrazione dell'esistenza ed unicità della soluzione per i sistemi di equazioni differenziali ordinarie del primo ordine, sotto opportune ipotesi, precisate dal teorema di Cauchy-Lipschitz. La successione ricorsiva sopra definita, nel caso in cui la funzione sia una contrazione di uno spazio metrico (o di un suo sottoinsieme) in sé, costituisce chiaramente anche un metodo per il calcolo approssimato della radice dell'equazione funzionale  .

NoteModifica

  1. ^ W. Rudin, Pag. 222.
  2. ^ a b Reed, Simon, Pag. 151.

BibliografiaModifica

  • (EN) Walter Rudin, Principi di analisi matematica, Milano, McGraw-Hill, 1991, ISBN 88-386-0647-1.
  • (EN) Michael Reed, Barry Simon, Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 1: Functional Analysis, 2ª ed., San Diego, California, Academic press inc., 1980, ISBN 0-12-585050-6.

Voci correlateModifica

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