Successione di funzioni

successione i cui termini sono funzioni
(Reindirizzamento da Convergenza uniforme)

In matematica una successione di funzioni è una successione i cui termini sono funzioni.

La definizione di un opportuno limite per una successione di funzioni è un tema importante dell'analisi funzionale. In particolare, per le successioni di funzioni si introduce, accanto alla convergenza puntuale, l'importante concetto di convergenza uniforme. La convergenza uniforme ad una funzione su un dato intervallo può essere definita tramite la norma uniforme.

DefinizioneModifica

Dato un insieme   di funzioni tra due insiemi fissati   e  , una successione di funzioni è una applicazione dall'insieme dei numeri naturali in  , che associa ad ogni numero naturale   una funzione  . La successione è usualmente indicata con uno dei due simboli seguenti:

 

Il secondo simbolismo è più corretto in quanto evidenzia il fatto che la nozione di successione generalizza quella di ennupla ordinata.

È importante osservare che nella definizione, così come nell'enunciazione di molti teoremi e proprietà, non è necessario supporre che il dominio delle funzioni sia un insieme strutturato. Solo dove richiesto esso sarà da intendersi, a seconda dei casi, uno spazio topologico, metrico, etc.

Valori in un punto fissatoModifica

Fissato un elemento   nel dominio  , la successione:

 

dei valori assunti dalle funzioni in   è una successione di elementi del codominio  . Quando   è un insieme numerico, come ad esempio l'insieme dei numeri reali, questa è una successione numerica.

Limite della successioneModifica

Data una successione di funzioni, è naturale definire una nozione di limite. Se   è una successione di funzioni da   in  , la successione numerica   dei valori assunti in un punto   può avere o non avere un limite. Se esiste un limite   per ogni punto  , è possibile definire una funzione limite  . Tale tipo di convergenza, ottenuta "calcolando il limite punto per punto", è detto convergenza puntuale. La convergenza puntuale è scarsamente usata in molti contesti dell'analisi funzionale poiché non soddisfa dei requisiti che sono normalmente ritenuti importanti. Tra questi c'è, ad esempio, la commutatività del limite con altre operazioni che si possano fare sulle funzioni.

Nel caso di funzioni da   in  , la convergenza puntuale ha le seguenti proprietà:

  • Il limite di una successione di funzioni continue non è necessariamente una funzione continua.
  • Il limite di una successione di funzioni derivabili o integrabili non è necessariamente derivabile/integrabile.
  • Il limite degli integrali di una successione di funzioni non è necessariamente uguale all'integrale del limite, ovvero non si possono sempre scambiare fra loro il segno di limite con quello di integrale.
  • Il limite delle derivate di una successione di funzioni non è necessariamente uguale alla derivata del limite, ovvero non si possono sempre scambiare fra loro il segno di derivata con quello di limite.

Per ottenere nozioni di convergenza che soddisfino le precedenti proprietà si definisce un opportuno spazio   di funzioni da   in  , ad esempio lo spazio delle funzioni continue, lo spazio delle funzioni misurabili o lo spazio   delle funzioni lisce. Fornendo   di una nozione di distanza, così che risulti essere uno spazio metrico, si può introdurre una nozione di convergenza di una successione di elementi di   più forte di quella puntuale, detta "convergenza uniforme".

Convergenza puntualeModifica

Sia   una successione di funzioni da   in   e sia   un'altra funzione da   in  . Lo spazio   può essere ad esempio l'insieme dei numeri reali o complessi. La successione di funzioni   converge puntualmente a   se:

 

per ogni   nel dominio  . In simboli, si scrive:

 

Se il codominio   è l'insieme dei numeri reali, è possibile anche usare una simbologia che indica una convergenza monotona. Se

 

per ogni   e  , allora vale anche:

 

per ogni   e  , e si scrive   oppure  . Analogamente, se vale l'altro verso della disuguaglianza si scrive   oppure  .

Convergenza uniformeModifica

 
Si può visualizzare la convergenza uniforme attraverso il fatto che le funzioni della successione non si allontanano dalla funzione limite   per una distanza maggiore di  .

Sia   una successione di funzioni dall'insieme   in   e sia   una funzione. La successione   converge uniformemente alla funzione   se per ogni   esiste   tale che:

 

per tutti gli  .

Detto:

 

la successione   converge uniformemente a   se e solo se:

 

La successione   converge localmente uniformemente a   se per ogni   in uno spazio metrico   esiste   tale che   converge uniformemente su  .

Da notare che se nella definizione di convergenza uniforme si scambiano "esiste  " e "per ogni  " si ottiene la definizione di convergenza puntuale: per ogni   e per ogni   esiste un   tale che   per tutti gli  . Si vede che la convergenza uniforme implica quella puntuale.

La convergenza uniforme si differenzia da quella puntuale per il fatto che, fissato un valore   (volendo anche piccolo a piacere), si può trovare in corrispondenza di esso un indice   che non dipende da  , ovvero non dipende dal punto considerato. In modo informale si può affermare che, una volta fissato  , ogni funzione   con   approssima su tutto   la funzione   con un errore minore di  .

ProprietàModifica

La convergenza uniforme è in molti contesti preferibile alla convergenza puntuale in quanto soddisfa un certo numero di proprietà. Sia   convergente uniformemente a  :

  • Se   è limitata allora   è limitata.
  • Se   è continua allora   è continua.
  • Se   è uniformemente continua allora   è uniformemente continua.
  • Se   è continua e uniformemente convergente su  , allora:
 

Questa relazione consente il passaggio al limite sotto il segno di integrale. L'ipotesi di continuità può essere inoltre sostituita con l'ipotesi che   sia integrabile secondo Lebesgue.

  • Il lemma di Dini stabilisce che se   o   in   (puntualmente) con   e   continue e   compatto, allora   convergente uniformemente a  .
  • Se si verifica [senza fonte]:
    • Le funzioni   sono derivabili in  
    •   converge a   per qualche  
    •   converge a   uniformemente
Allora   uniformemente,   è derivabile e  .

Metrica uniformeModifica

Se   è compatto, lo spazio   delle funzioni continue su   può essere dotato di una distanza:

 

in modo da diventare uno spazio metrico. In esso è definito un concetto di limite di una successione che coincide con quello di convergenza uniforme. Le ipotesi che   sia compatto e che le funzioni siano continue sono introdotte per ottenere effettivamente una distanza finita fra ogni coppia di funzioni, grazie al teorema di Weierstrass. Tale distanza è a sua volta indotta dalla norma uniforme.

Criterio di convergenza di CauchyModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Criterio di convergenza di Cauchy.

Sia   una successione di funzioni definita in  . Essa è convergente puntualmente e uniformemente se e solo se per ogni   esiste un indice   tale che, per ogni   in  :

 

Nello spazio delle funzioni limitate in   vale infatti il criterio di convergenza di Cauchy, essendo esso uno spazio completo.

EsempiModifica

Gli esempi seguenti sono successioni di funzioni da   in  .

In alcuni casi una successione di funzioni può essere interamente descritta da una espressione del tipo:

 

dove i primi termini sono:

 

Analogamente, una espressione del tipo:

 

descrive la successione di funzioni:

 

dove se   si ottiene una successione di numeri reali.

Altri tipi di convergenzaModifica

Nel seguito verrà supposto che le funzioni che compongono la successione   appartengono a uno spazio normato   Le nozioni di convergenza che seguono sono molto usate in spazi di Banach come gli spazi  (spazio Lp) e gli Spazi di Sobolev  

Si dice che   converge in norma alla funzione   se

 

Un'importante caratterizzazione della convergenza in norma in spazi di misura è data dal teorema di Vitali.

Si dice che   converge debolmente a una funzione   se

 

dove   indica lo spazio duale di   e   indica l'azione di   su  

Relazioni tra le diverse nozioni di convergenzaModifica

Si ha che la convergenza forte implica la convergenza debole. Infatti, per definizione di norma di un operatore lineare si ha che

 

Il viceversa non è vero in generale. Mostriamo un controesempio.Per il teorema di rappresentazione di Rietsz, ogni elemento   del duale di   è rappresentato da un elemento   di  , con   Inoltre, il modulo di ogni elemento di  deve essere definitivamente, quasi ovunque, minore di qualsiasi costante   fissata. Quindi, presa la successione di funzioni   per ogni   e   per ogni  , si ha che   è  , per ogni   fissato, e converge debolmente alla funzione   costantemente pari a 0. Infatti, fissato  ,per ogni   si ha che

 

per ogni  

Allo stesso tempo, avendo che   per ogni  , si ha che   non converge in norma.

Se lo spazio normato   è uno spazio di Hilbert  , allora si ha che la convergenza debole più la convergenza delle norme implica la convergenza forte. Infatti

 

Inoltre la convergenza forte, a meno di passare a sottosuccessioni, implica la convergenza quasi ovunque.

BibliografiaModifica

  • Nicola Fusco, Paolo Marcellini, Carlo Sbordone, Elementi di Analisi Matematica Due. Versione semplificata per i nuovi corsi di laurea, Liguori Editore, Napoli, 2001 ISBN 88-207-3137-1
  • (EN) Hans Niels Jahnke, 6.7 The Foundation of Analysis in the 19th Century: Weierstrass, in A history of analysis, AMS Bookstore, 2003, ISBN 978-0-8218-2623-2.
  • (EN) Konrad Knopp, Theory and Application of Infinite Series; Blackie and Son, London, 1954, reprinted by Dover Publications, ISBN 0-486-66165-2.
  • (EN) G. H. Hardy, Sir George Stokes and the concept of uniform convergence; Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, 19, pp. 148–156 (1918)
  • (EN) Bourbaki; Elements of Mathematics: General Topology. Chapters 5–10 (Paperback); ISBN 0-387-19374-X
  • (EN) Walter Rudin, Principles of Mathematical Analysis, 3rd ed., McGraw–Hill, 1976.
  • (EN) Gerald Folland, Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications, Second Edition, John Wiley & Sons, Inc., 1999, ISBN 0-471-31716-0.

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