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Nota disambigua.svg Disambiguazione – Se stai cercando la convoluzione tra funzioni aritmetiche, vedi Convoluzione di Dirichlet.
Convoluzione di due impulsi rettangolari e di pari lunghezza: la forma d'onda che ne risulta è un impulso triangolare. Si tratta del prodotto di una delle due funzioni, in tal caso , con l'altra riflessa rispetto a e traslata di , ottenendo . L'area del prodotto che ne risulta (in giallo) è il valore dell'integrale di convoluzione. Nell'asse orizzontale del grafico figurano i valori della variabile per rappresentare e , della variabile per . Se i due segnali rettangolari avessero lunghezza differente la convoluzione genererebbe la funzione trapezio.
Convoluzione di un impulso rettangolare con la risposta impulsiva tipica di un circuito RC: il valore della convoluzione è la risposta del circuito quando l'ingresso è l'impulso rettangolare.

In matematica, in particolare nell'analisi funzionale, la convoluzione è un'operazione tra due funzioni di una variabile che consiste nell'integrare il prodotto tra la prima e la seconda traslata di un certo valore. Ha una forte somiglianza con la correlazione incrociata.

La convoluzione viene utilizzata in vari campi della fisica, della statistica, dell'elettronica, dell'analisi d'immagini e della grafica computerizzata. Quando si studiano sistemi dinamici lineari stazionari, l'uscita è data dalla convoluzione tra il segnale in ingresso e la risposta all'impulso del sistema, la cui trasformata di Laplace (o la trasformata di Fourier) è la funzione di trasferimento del sistema.

DefinizioneModifica

Si considerino due funzioni   e   definite da   in sé, con   e   integrabili secondo Lebesgue su  . Si definisce convoluzione di   e   la funzione definita nel seguente modo:[1]

 

dove   denota l'integrale definito sull'insieme dei numeri reali. Le limitazioni poste alle funzioni   e   assicurano che l'integrale sia un numero reale. È cioè l'integrale del prodotto delle due funzioni dopo che una delle funzioni di partenza è stata rovesciata e traslata, e si può considerare una forma di trasformata integrale. L'ultimo passaggio si può dimostrare considerando  : operando la sostituzione nella prima formula si ottiene la seconda ritornando a chiamare   con il nome di  .

Spesso alla variabile   si fa corrispondere il tempo, ed in tale contesto la convoluzione può essere descritta come la media pesata della funzione   all'istante  , dove la funzione peso è   traslata di un intervallo  , ed al cambiare di   la funzione peso enfatizza parti diverse di  .

Più in generale si possono considerare   e   definite su   a valori in  , la cui convoluzione è data da:

 

Se   e   sono due variabili casuali indipendenti con densità di probabilità   e   rispettivamente, allora la densità di probabilità della somma   è data dalla convoluzione di   con  .[2]

Convoluzione circolareModifica

Data una funzione periodica   con periodo  , la sua convoluzione con un'altra funzione   è ancora una funzione periodica e può essere espressa come:

 

dove   è un parametro arbitrario e   è la sommazione periodica di  , data da:[3]

 

Si tratta di una convoluzione periodica di   e  , e se   è espressa come sommazione periodica di un'altra funzione   tale operazione è detta convoluzione circolare o convoluzione ciclica di   e  .

Convoluzione discretaModifica

Si considerino due funzioni   e   definite sull'insieme   degli interi. La convoluzione discreta di   con   è data da:

 

Quando si moltiplicano due polinomi con coefficienti dati dalle successioni   e   la successione dei coefficienti del loro prodotto è data dal prodotto di Cauchy  , il cui n-esimo elemento è dato da:

 

che è la convoluzione discreta delle due successioni. Essa equivale al prodotto di   e   considerati come elementi dell'anello sul gruppo dei numeri naturali  .

Convoluzione discreta circolareModifica

Data una funzione   periodica con periodo  , per funzioni   tali che   esiste, la convoluzione discreta è periodica:

 

e la somma su k è una sommazione periodica di  . Se   è la sommazione periodica di un'altra funzione  , la convoluzione   è la convoluzione circolare di   con  . Se inoltre   e   presentano valori diversi da zero esclusivamente nell'intervallo   allora   assume la forma:

 

Dominio di definizioneModifica

La convoluzione di due funzioni   e   definite su   a valori in  :

 

è ben definita solo se   e   decrescono all'infinito abbastanza rapidamente da garantire l'esistenza dell'integrale.

Se   e   sono funzioni a supporto compatto, ovvero sono funzioni (in questo caso continue) che hanno per supporto un sottoinsieme compatto dell'insieme di definizione, allora la loro convoluzione esiste ed è continua a supporto compatto. Più in generale, se una delle due è a supporto compatto mentre l'altra è localmente integrabile, la loro convoluzione esiste ed è continua.

Se   e   sono Lebesgue-integrabili (in  ) allora per il teorema di Tonelli la loro convoluzione è integrabile. Se   e  , con  , allora   e si ha:

 

In particolare, se   tale relazione mostra che   con l'operazione di convoluzione è un'algebra di Banach. Più in generale, la disuguaglianza di Young implica che la convoluzione è una funzione bilineare continua tra spazi  . Nello specifico, se   soddisfano la relazione:

 

allora:

 

sicché la convoluzione è una mappa bilineare continua da   a  .

DistribuzioniModifica

Sotto opportune condizioni è possibile definire la convoluzione di una funzione con una distribuzione e la convoluzione tra due distribuzioni. Se   è una funzione a supporto compatto e   è una distribuzione, la loro convoluzione è una funzione liscia definita dall'analoga formulazione distribuzionale:

 

Più in generale, si può estendere la definizione convoluzione unicamente in modo che la proprietà associativa:

 

rimanga valida anche qualora   sia una distribuzione e   una distribuzione a supporto compatto.

MisureModifica

La convoluzione di due misure di Borel   e   a variazione limitata è la misura   definita come:

 

Tale definizione coincide con la precedente se   e   sono trattate come distribuzioni, e con la definizione di convoluzione di funzioni in   quando   e   sono assolutamente continue rispetto alla misura di Lebesgue.

Inoltre, la convoluzione di due misure soddisfa la seguente versione della disuguaglianza di Young:

 

dove la norma è la variazione totale della misura.

ProprietàModifica

La convoluzione soddisfa le seguenti proprietà:

 
Dimostrazione

Partendo dalla definizione:

 

si applica la sostituzione:

 

da cui:

 

Ricordando che gli estremi di integrazione sono espressi in funzione di  , esprimendoli in funzione di   l'estremo inferiore diventa:

 

mentre l'stremo superiore:

 

Dato che nel caso di integrali definiti o impropri è possibile invertire gli estremi di integrazione:

 
 
 
  • Associatività per moltiplicazione per scalare
 
per ogni numero reale (o complesso)  .
 
dove con   si è denotata la derivata di   o, nel caso discreto, l'operatore differenziale:
 

Teorema di convoluzioneModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Teorema di convoluzione.

Il teorema di convoluzione afferma che:

 

dove   indica la trasformata di Fourier di   e   è una costante che dipende dalla scelta della costante di normalizzazione della trasformata. Altre versioni di questo teorema funzionano per la trasformata di Laplace e la trasformata di Mellin. La trasformata della convoluzione di due funzioni equivale al prodotto delle trasformate delle due funzioni stesse.

Convoluzione su gruppiModifica

Se   è un gruppo scelto in modo appropriato e la cui misura corrisponde al valore m (per esempio, un gruppo di Hausdorff localmente compatto con la misura di Haar) e se   e   sono valori reali o complessi dell'm-integrale di  , allora la loro convoluzione può essere definita dalla relazione:

 

ApplicazioniModifica

La convoluzione e le relative operazioni sono usate in diverse applicazioni dell'ingegneria e della matematica.

  • In statistica, una media mobile pesata è una convoluzione. Anche la distribuzione di probabilità della somma di due variabili casuali indipendenti corrisponde alla convoluzione di ognuna delle loro distribuzioni.
  • In ottica, molte specie di "blur" sono descritte tramite la convoluzione. Un'ombra (ad esempio l'ombra su un tavolo che si vede quando gli si interpone un oggetto innanzi la fonte luminosa) è la convoluzione della forma della fonte di luce che sta proiettando l'ombra dell'oggetto illuminato e l'oggetto stesso. Una foto fuori fuoco è la convoluzione dell'immagine a fuoco con la forma del diaframma. Il termine fotografico per tale effetto è bokeh.
  • Analogamente, nell'elaborazione digitale delle immagini, i filtri convoluzionali assumono un importante compito negli algoritmi di calcolo dei margini e dei processi correlati.
  • Nell'elaborazione digitale dei segnali, il filtraggio di frequenza può essere semplificato convolvendo due funzioni (dati con un filtro) nel dominio del tempo, il che equivale a moltiplicare i dati con un filtro nel dominio di frequenza.
  • In acustica lineare, un'eco è la convoluzione del suono originale con una funzione geometrica che descrive i vari oggetti che stanno riflettendo il segnale sonoro.
  • In elaborazione digitale dei segnali, nella riverberazione artificiale la convoluzione è utilizzata per codificare la risposta ad impulso di una stanza reale ad un segnale audio digitale.
  • In ingegneria elettrica e in altre discipline, l'output (risposta) di un sistema dinamico lineare (stazionario) è la convoluzione di un input (eccitazione d'ingresso) con la risposta impulsiva del sistema (ovvero la risposta quando l'eccitazione d'ingresso è la funzione Delta di Dirac).
  • Nella spettroscopia a fluorescenza determinata a tempo, il segnale di eccitazione può essere trattato come una catena di impulsi delta, e la fluorescenza misurata è data dalla somma dei decadimenti esponenziali di ogni impulso delta.

NoteModifica

  1. ^ W. Rudin, Pag. 170.
  2. ^ J. Jacod; P. Protter, Pag. 117.
  3. ^ Infatti:
     
     

BibliografiaModifica

Voci correlateModifica

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