Coomologia di De Rham

In matematica la coomologia di De Rham è uno strumento usato in topologia algebrica e differenziale per studiare le varietà differenziabili. Prende il nome dal matematico Georges De Rham.

Definito usando le forme differenziali, la coomologia di De Rham è un invariante topologico delle varietà differenziabili che (intuitivamente) conta il loro "numero di buchi -dimensionali".

DefinizioneModifica

PreliminariModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Forma differenziale.

Sia   una varietà differenziabile di dimensione   e   un intero con

 

Tutte le  -forme differenziali su   formano uno spazio vettoriale reale che viene indicato con

 

Questo spazio ha dimensione finita. In particolare, per   questo spazio è lo spazio delle funzioni differenziabili a valori in  .

Il differenziale esterno di una forma differenziale   è una  -forma, indicata con il simbolo  . Il differenziale definisce quindi una mappa

 

che risulta essere una applicazione lineare fra i due spazi vettoriali.

Complesso di cocateneModifica

Il complesso di De Rham è il complesso di cocatene seguente:

 

Poiché ogni forma esatta è anche chiusa, vale   per ogni forma  , ovvero

 

D'altra parte, una forma chiusa può non essere esatta, e la coomologia di De Rham misura proprio questo fenomeno; la coomologia è definita come l'omologia del complesso di De Rham nel modo seguente. Siano

 

i sottospazi formati rispettivamente dalle  -forme chiuse ed il sottospazio delle  -forme esatte. Poiché ogni forma esatta è chiusa, vale l'inclusione

 

Il  -esimo gruppo di coomologia di De Rham è definito come il quoziente di questi due spazi:

 

BibliografiaModifica

Voci correlateModifica

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