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Corpo rigido

oggetto materiale le cui parti sono soggette al vincolo di rigidità

In fisica un corpo rigido è un oggetto materiale le cui parti sono soggette al vincolo di rigidità, ossia è un corpo che sia quando è fermo sia quando cambia posizione non si deforma mai. Dal punto di vista della teoria dell'elasticità un corpo è rigido se costituito da un materiale che ha modulo di Young teoricamente infinito.

Indice

DescrizioneModifica

Il vincolo di rigidità è un vincolo di posizione bilaterale ed indipendente dal tempo; esso fa sì che le mutue distanze fra due punti qualunque del sistema restino invariate in ogni istante. Scelti due punti qualunque   e   appartenenti al corpo rigido e la loro distanza  , il vincolo di rigidità è analiticamente espresso dalla relazione:

 

Affinché un sistema abbia un moto rigido è necessario e sufficiente che le velocità simultanee di due suoi punti qualsiasi abbiano la stessa componente lungo la loro congiungente, e questo deve essere vero per ogni coppia di punti del sistema.

Per descrivere lo spostamento rigido nello spazio occorrono 6 gradi di libertà (tre componenti della traslazione e tre componenti della rotazione). Infatti, definita la "forma" del corpo rigido, ad ogni istante la sua posizione è individuabile da sei valori, come:

  • tre coordinate di posizione di uno dei 3N punti del corpo rigido (le altre 3(N-1) coordinate degli (N-1) punti del corpo rigido sono univocamente determinate dai vincoli);
  • tre coordinate di un punto, tre coseni direttori di rotazione intorno agli assi x, y, z solidali al corpo.

Il moto di un corpo rigido si definisce moto rigido piano quando, considerato un piano solidale al corpo e con giacitura iniziale g, questo si mantiene durante il moto costantemente sovrapposto ad un piano fisso anch'esso di giacitura g; ovvero tutti i punti appartenenti al corpo rigido seguono le stesse leggi temporali di moto su piani paralleli.

Due corpi rigidi vincolati a strisciare l'uno sull'altro su una superficie solidale ad entrambi si dicono costituire una coppia cinematica.

Cinematica del corpo rigidoModifica

La traslazione di un corpo rigido si riconduce allo studio della cinematica dei sistemi, introducendo il concetto di centro di massa e considerando il corpo come un sistema continuo.

Lo studio della parte rotazionale con i concetti già noti sono sufficienti a determinare tutte le caratteristiche cinematiche del moto. La rotazione di un corpo rispetto ad un asse passante per almeno un punto del corpo è perfettamente determinata dalla conoscenza della variazione angolare del moto del corpo rispetto ad un punto generico dell'asse di rotazione:

 

o meglio dal vettore velocità angolare:

 

esso è diretto parallelamente all'asse di rotazione con verso definito dalla regola della vite. Allora la velocità di un punto qualsiasi del corpo rispetto all'asse di rotazione è:

 
Tenendo conto che  

La variazione della velocità angolare ci dice che un punto qualsiasi del corpo rispetto all'asse di rotazione subisce un'accelerazione angolare:

 

Le componenti della velocità assoluta di un punto del corpo sugli assi mobili       sono date proiettando allora il teorema delle velocità relative:

  sugli assi  .

Chiamando con   le componenti della velocità assoluta del centro delle velocità   (traslazione) in tre assi di rotazione   (mobili), e con   le componenti del vettore velocità angolare   in tre assi mobili otteniamo:

 

 

 

I valori   si chiamano i sei parametri del moto rigido.

Lo stesso punto subisce un'accelerazione data da:

 

dove il termine   rappresenta l'accelerazione tangenziale, diretta nello stesso verso della velocità tangenziale  , che ne è anche responsabile della variazione in modulo di quest'ultima, mentre il secondo termine   rappresenta l'accelerazione radiale diretta verso il centro della circonferenza, ed è responsabile della variazione in direzione della velocità tangenziale.

In definitiva:

 

dove   e   sono rispettivamente i versori associati alla direzione tangente ed alla direzione radiale della circonferenza descritta dal moto del corpo.

Dinamica del corpo rigidoModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Equazioni cardinali dei sistemi.

Per quanto riguarda la parte dinamica del moto di un corpo rigido, sappiamo che un sistema continuo è soggetto alle equazioni cardinali della dinamica

 

dove si introduce il concetto del centro di massa a cui si riferiscono le grandezze associate. A partire da queste equazioni si determina perfettamente la dinamica del corpo rigido. Un corpo rigido è isolato se

 

e queste equazioni introducono le leggi di conservazione e fanno parte di una branca della meccanica classica detta statica.

Per quanto riguarda la parte energetica del moto di un corpo rigido, l'energia cinetica   ha il contributo dell'energia cinetica traslazionale   e di quella rotazionale   in generale, per un moto piano, date da

 

dove   è il momento d'inerzia del corpo rispetto all'asse perpendicolare al piano del moto e passante per il baricentro, mentre   è la velocità del baricentro. Vale il Teorema di Huygens-Steiner. Il lavoro delle forze interne di un corpo rigido è per il terzo principio della dinamica nullo. Si noti che se il corpo ruota attorno a un asse   non baricentrico, se si indica con   la distanza del baricentro dall'asse di rotazione, si ottiene

 

essendo   il momento d'inerzia rispetto all'asse di rotazione  .

EsempiModifica

Sono moti rigidi piani quelli in cui il corpo ruota intorno ad un asse fisso e il moto di puro rotolamento, il moto del pendolo composto e quello della trottola.

Voci correlateModifica

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