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Le correnti a pelo libero sono essenzialmente delle correnti idriche che percorrono i corsi d'acqua artificiali o naturali, come i fiumi. Il loro studio è molto importante per l'idraulica tecnica. L'importante di questo tipo di correnti è che la superficie di contorno superiore non è a contatto con una parete solida ma con l'aria, che è considerato come un gas a pressione atmosferica costante, cioè una superficie isobarica che viene comunemente detta superficie libera o pelo libero. A differenza delle correnti in pressione, nelle correnti a pelo libero la pendenza del pelo libero può cambiare rispetto alla pendenza del fondo, pertanto è importante analizzare il profilo longitudinale del pelo libero.

La sezione di condotta a pelo libero può avere una sezione naturale, che si può rettificare per lo studio, oppure possiamo considerare un alveo infinitamente largo per lo studio di alcune parti, oppure essere in presenza di una sezione artificiale. La loro progettazione deve essere fatta seconda una portata massima che possono sopportare, considerando un tempo massimo di ritorno di una certa portata di piena.

MotoModifica

Nelle correnti a pelo libero si può considerare un moto permanente e un moto uniforme .

Il moto permanente non dipende dal tempo:

 

Considerando il carico totale H e derivandolo secondo una qualsiasi traiettoria s, che in una traiettoria di lunghezza infinitesima si ha come risultato le perdite di carico J:

 

Dobbiamo considerare la portata Q costante sia lungo la traiettoria sia all'inizio che alla fine del nostro tratto interessato, cioè:

 

Quindi considerando una traiettoria di lunghezza non più infinitesima possiamo scrivere:

 
 

Dove q è la portata unitaria, cioè la portata di metri cubi al secondo per metro.

Quindi possiamo scrivere che:

 

Cioè che le perdite di carico sono una funzione che dipendono da vari fattori che sono:

  • v è la velocità
  • R è il raggio idraulico
  • rs è il coefficiente di scabrezza
  • rf è il coefficiente di forma

Un moto uniforme invece si ha soltanto se si è in presenza di un alveo cilindrico, cioè con sezione costante. È caratterizzato dal fatto che il moto non cambia ne rispetto al tempo ne rispetto allo spazio:

 
 

Visto che sicuramente abbiamo delle pendenze, avremo che la derivata rispetto alla quota sarà diverso da zero:

 

Possiamo scrivere l'equazione del moto uniforme, indicando con if la pendenza del fondo, e con J le dissipazioni:

 

La pendenza del fondo possiamo rappresentarla come:  

Questa ci dice che l'energia che guadagno grazie alla pendenza viene totalmente persa in dissipazioni distribuite. Tuttavia il moto uniforme è tecnicamente irrealizzabile se non puntualmente, perché vorrebbe dire che non esiste nulla che disturbi il corso dell'acqua nel suo percorso, tuttavia rappresenta le condizioni tendenziali del corso d'acqua.

Applicando l'equazione di Bernoulli modificata per le correnti a pelo libero, possiamo scrivere la formula del carico totale della nostra corrente:

 

dove:

  Per una condotta a pressione è il carico prevalente
  è il carico cinematico

Carico specificoModifica

Nelle correnti a pelo libero, y e   sono due grandezze confrontabili che assieme rappresentano il carico specifico E:

 
 
Grafico del carico specifico delle correnti a pelo libero

z diventa l'energia di posizione per unità di peso. Analizzando il grafico di questa funzione, si nota come la corrente abbia due possibili livelli per la stessa energia, cioè una corrente più lenta con un livello più elevato oppure una più veloce con un livello del pelo libero più basso. Inoltre esiste un punto di energia minima per un'altezza del pelo libero, che si definisce altezza critica o ycr. L'aspetto di tutti i corsi d'acqua, nelle loro parti terminali variano con E e y prossimi all'assetto critico. Per le correnti a pelo libero, partendo dalla formula di Chézy, possiamo dire che data una certa portata ci si domanda se quest'ultima riesce a scorrere lungo un percorso:

 

Questa rappresenta le condizioni di moto uniforme. Rappresenta una condizione asintotica per una corrente che dopo un po' ha le perdite di carico equilibrate dalla pendenza dell'alveo. Non c'è una relazione lineare tra portata e perdite di carico. In alcune condizioni energetiche, piccole variazioni di carico, possono causare gradi variazioni di carico.

A livello puntuale avremo: : 

Mentre mediamente risulta:

 

Mettendo in relazione la pendenza del fondale if con le perdite di carico, possiamo scrivere l'equazione del moto in termini di carico specifico:

 

Questa espressione ci indica quanto carico si può recuperare per unità di percorso. Se if>J il carico aumenta, ma non è detto che aumenta la velocità della corrente, dipende se la corrente è veloce o la corrente è lenta.

Assetto criticoModifica

Nell'assetto critico si ha la minima energia per un'altezza del pelo libero unica. Per trovare il massimo valore di energia rispetto ad y.

 

Deriviamo rispetto ad y:

 

Poniamo la funzione uguale a zero per trovare un massimo secondo l'analisi matematica:

 
 
 
 

Sostituiamo quanto trovato nell'equazione del carico specifico:

 

Sostituendo:

 

Alla fine avremo:

 

Velocità del flussoModifica

Tramite l'applicazione della formula di Chézy ai canali a pelo libero è possibile scrivere l'equazione della portata.

 

Dove:

  • Q è la portata
  • A è l'area bagnata (A = y · b in caso di sezioni rettangolari dell'alveo)
  • y è l'altezza del pelo libero
  • b è la larghezza dell'alveo rettangolare
  • ks è il coefficiente di scabrezza o di Strickler-Manning
  • R è il raggio idraulico
  • if è la pendenza del fondo

Nel caso più comune, con una sezione rettangolare possiamo scrivere questa equazione come:

 

Dove il raggio idraulico è:

 

Che fa diventare la formula:

 

Dove partendo con la conoscenza della portata e della larghezza dell'alveo, per tentativi si può calcolare quale sarà l'altezza della corrente.

NoteModifica


BibliografiaModifica

  • D. Citrini, G. Noseda, Idraulica, Milano, ambrosiana, 1987.

Voci correlateModifica