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Un esempio di funzione biiettiva

In matematica una corrispondenza biunivoca tra due insiemi e è una relazione binaria tra e , tale che ad ogni elemento di corrisponda uno ed un solo elemento di , e viceversa ad ogni elemento di corrisponda uno ed un solo elemento di . In particolare, la corrispondenza biunivoca è una relazione di equivalenza.

Lo stesso concetto può anche essere espresso usando le funzioni. Si dice che una funzione

è biiettiva se per ogni elemento di vi è uno e un solo elemento di tale che .

Una tale funzione è detta anche biiezione, bigezione, funzione bigettiva o funzione biunivoca.

Indice

ProprietàModifica

Iniettività e suriettivitàModifica

  • Una funzione   è biiettiva se e solo se è contemporaneamente iniettiva e suriettiva[1], cioè se soddisfa le seguenti condizioni:
    •   implica  , per ogni  ,   scelti in  ;
    •  , cioè ogni elemento del codominio è immagine di un elemento del dominio.

InvertibilitàModifica

  • Una funzione   è biiettiva se e solo se è invertibile, cioè se e solo se esiste una funzione   tale che la funzione composta   venga a coincidere con la funzione identità su   e che la funzione   coincida con l'identità su  . La funzione   se esiste è unica, viene chiamata funzione inversa di   e denotata con  .

ComposizioneModifica

  • La composizione   di due funzioni biiettive   e   è ancora biiettiva.

Corrispondenza biunivoca per insiemi finitiModifica

  • Se   e   sono insiemi finiti, si può costruire una biezione tra   e   se e solo se essi hanno la stessa cardinalità. In tale caso, inoltre, ogni funzione   iniettiva o suriettiva è anche biiettiva.[2]

NoteModifica

BibliografiaModifica

  • Czes Kosniowski, Introduzione alla Topologia Algebrica, Zanichelli, 1988, ISBN 88-08-06440-9.
  • Conte, Picco Botta, Romagnoli, Algebra, Levrotto & Bella, 1986, ISBN 8882181464.

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