Criterio di Nyquist

Nota disambigua.svg Disambiguazione – Se stai cercando il criterio di Nyquist per determinare la frequenza di campionamento, vedi Teorema del campionamento di Nyquist-Shannon.

In teoria dei sistemi il criterio di stabilità di Nyquist è una tecnica grafica che determina la stabilità asintotica di un sistema dinamico in retroazione. Fu formulato nel 1932 da Harry Nyquist.[1] Il criterio di Nyquist è largamente usato, per progettare e analizzare sistemi con feedback, in elettronica e in ingegneria dell'automazione, nonché in altri campi.

Diagramma di Nyquist di

Poiché si basa esclusivamente sul diagramma di Nyquist dei sistemi ad anello aperto, può essere applicato senza dover calcolare esplicitamente i poli e gli zeri del sistema ad anello chiuso o di quello ad anello aperto (è necessario però sapere il numero poli e zeri nel semipiano destro). Di conseguenza, può essere applicato a sistemi definiti da funzioni non razionali, come sistemi con ritardi. In contrasto con i diagrammi di Bode, esso può considerare sistemi descritti da funzioni di trasferimento con singolarità nel semipiano destro (con parte reale positiva). Inoltre, si può generalizzare facilmente a sistemi con multipli ingressi e multiple uscite, come il sistema di controllo di un aereo.

Sebbene sia uno dei criteri più generali, è tuttavia limitato a sistemi lineari tempo-invarianti (LTI, anche detti sistemi dinamici lineari stazionari).

Il diagramma di NyquistModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Diagramma di Nyquist.
 
Un diagramma di Nyquist, con la parte reale della funzione di trasferimento ad anello aperto sulle x e la parte immaginaria sulle y. Sebbene le frequenze non siano indicate nella curva, si può dedurre che il punto a frequenza nulla sia sulla destra. e che la curva faccia una spirale verso l'origine per le alte frequenze. Questo perché il guadagno a frequenza nulla deve essere puramente reale (sull'asse x) e tipicamente non nullo, mentre molti processi fisici hanno delle caratteristiche da passa basso, quindi la risposta ad alta frequenza è nulla.

Con diagramma di Nyquist si intende una particolare rappresentazione grafica della funzione di trasferimento di un sistema dinamico lineare stazionario. È un grafico utile nell'analisi dei sistemi di controllo retroazionati, specificatamente in relazione alla verifica della stabilità.

La rappresentazione avviene su un grafico in coordinate polari in cui sono disegnati la parte immaginaria (sull'asse y) e quella reale (sull'asse x) della funzione di trasferimento al variare della pulsazione o frequenza angolare ω. Questo diagramma utilizza un solo piano di riferimento, al contrario del diagramma di Bode che rappresenta modulo e la fase in funzione di ω in due distinti piani cartesiani.

La stabilità di un sistema ad anello chiuso con feedback negativo è determinata applicando il criterio di Nyquist al diagramma di Nyquist del sistema ad anello aperto (ovvero il sistema senza il ramo di feedback). Questo metodo è facilmente applicabile anche per sistemi con ritardi o funzioni di trasferimento non razionali fratte, che potrebbero essere difficili da analizzare con altri metodi. La stabilità è determinata dal numero di giri del diagramma intorno al punto sul piano complesso (−1,0). La gamma di guadagni con la quale il sistema rimane stabile può essere determinata guardando le intersezioni con l'asse reale.

Il diagramma di Nyquist può fornire alcune informazioni riguardanti la forma della funzione di trasferimento. Ad esempio, fornisce informazione sulla differenza tra il numero di zeri e di poli della funzione di trasferimento[2] dall'angolo al quale la curva si avvicina all'origine.

ContestoModifica

Consideriamo un sistema con funzione di trasferimento ad anello aperto (FTAA, o in inglese OLTF)  ; quando viene inserito un anello chiuso con feedback negativo  , la funzione di trasferimento ad anello chiuso (FTAC, o in inglese CLTF) diventa  .

La stabilità può essere determinata esaminando le radici del polinomio  , ad esempio usando il criterio di Routh-Hurwitz, ma questo metodo è laborioso. Si può concludere esaminando la FTAA, con i diagrammi di Bode, o in questo caso, il diagramma polare della FTAA   con il criterio di Nyquist, nel modo seguente.

Una qualsiasi funzione di trasferimento   sul dominio di Laplace è una funzione razionale fratta:

 

Le radici di   sono gli zeri di  , e le radici di   sono i poli di  . I poli di   sono anche le radici della "equazione caratteristica"  .

La stabilità di   è determinata dai valori dei suoi poli: per avere stabilità, la parte reale di tutti i poli deve essere negativa. Se   è formata chiudendo un anello di feedback negativo intorno alla funzione di trasferimento ad anello aperto

 

allora le radici dell'equazione caratteristica sono anche gli zeri di  , o semplicemente le radici di  .

Il criterioModifica

Per prima cosa costruiamo il cammino di Nyquist, che racchiude la metà destra del piano complesso (right-half plane, RHP):

  • un percorso sull'asse  , da   a  .
  • un arco semicircolare con raggio  , che inizia a   e corre in senso orario fino a  .

Il cammino (o contorno) di Nyquist mappato sulla funzione   dà un grafico di   nel piano complesso. Per il principio dell'argomento, il numero di aggiramenti orari dell'origine deve essere pari al numero di zeri di   nella semipiano complesso destro meno il numero di poli di   nella stessa metà del piano. Se invece il contorno è mappato sulla FTAA  , il risultato è il diagramma di  . Contando gli aggiramenti di -1 del contorno risultante, troviamo la differenza tra il numero di zeri e il numero di poli nel semipiano destro complesso di  . Ricordando che gli zeri di   sono i poli del sistema ad anello chiuso, e notando che i poli di   sono uguali ai poli di  , possiamo enunciare il criterio di Nyquist:

Dato un cammino di Nyquist  , sia   il numero di poli di   racchiusi da  , e sia  il numero di zeri di   racchiusi da  . Alternativamente, e soprattutto, se  è il numero di zeri del sistema ad anello chiuso nel semipiano destro, e   è il numero di poli nel semipiano destro della funzione ad anello aperto  , il conseguente cammino nel piano- ,   girerà in senso orario intorno al punto     volte tali che  .

Se il sistema ad anello aperto è instabile in origine, è necessario un feedback per stabilizzare il sistema. I poli del semipiano destro rappresentano quella instabilità. Per la stabilità ad anello chiuso di un sistema, il numero di radici ad anello chiuso nel metà destra del piano-s (cioè con parte reale e immaginaria di s sugli assi) deve essere zero. Pertanto, il numero di giri in senso antiorario intorno a   deve essere uguale al numero di poli ad anello aperto nel RHP. Un numero non nullo di giri in senso orario intorno al senso orario indica che il sistema risulterebbe instabile se l'anello fosse chiuso. Usare gli zeri del RHP per elidere i poli del RHP non rimuove l'instabilità, ma piuttosto assicura che il sistema rimanga instabile anche in presenza di feedback, dato che le radici ad anello chiuso corrono tra i poli e gli zeri ad anello aperto in presenza di feedback. Infatti, gli zeri del RHP possono rendere non osservabile il polo instabile e quindi non stabilizzabile con il feedback.

NoteModifica

  1. ^ (EN) Harry Nyquist, Regeneration Theory, in Bell System Technical Journal, vol. 11, n. 1, 1932, pp. 126–147, DOI:10.1002/j.1538-7305.1932.tb02344.x. URL consultato il 14 giugno 2019.
  2. ^ Nyquist Plots, su facstaff.bucknell.edu, 30 settembre 2008. URL consultato il 28 giugno 2019 (archiviato dall'url originale il 30 settembre 2008).

BibliografiaModifica

  • (EN) Gene Franklin, Feedback Control of Dynamic Systems, Prentice Hall, 2002, ISBN 0-13-032393-4.

Voci correlateModifica

Collegamenti esterniModifica

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