Criteri di convergenza

In analisi matematica i criteri di convergenza per le serie sono condizioni sufficienti per la determinazione del carattere della serie.

Serie a termini concordi

Primo criterio del confronto

Consideriamo due serie a termini non negativi $\sum a_{n}$ e $\sum b_{n}$ tali che $\ a_{n}$ $\leq$ $\ b_{n}$:

• se la maggiorante converge, la minorante è convergente;
• se la minorante diverge, la maggiorante è divergente.

Questo criterio viene utilizzato per dimostrare che la serie armonica generalizzata è divergente per α ≤ 1.

Dimostrazione

Data la successione di somme parziali $(S_{n})$ di $\sum a_{n}$, dove $(S_{n})$ è monotona crescente: $\lim _{n\to +\infty }S_{n}=\sup {S_{n}}$.

Analogamente con $(T_{n})$ successione di somme parziali di $\sum b_{n}$: $\lim _{n\to +\infty }T_{n}=\sup {T_{n}}$.

Abbiamo che:

$\sum a_{n}=\sup {S_{n}}\leq \sum b_{n}=\sup {T_{n}},$

dove non è da escludere che gli estremi superiori possano assumere anche il valore $+\infty$. Quanto affermato nel criterio ne segue immediatamente.

Secondo criterio del confronto o del confronto asintotico

Date due serie a termini positivi $\sum a_{n}$ e $\sum b_{n}$:

• se $\sum b_{n}$ è convergente e $\lim _{n\to +\infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}=l$, dove $l\in (0,+\infty )$, allora $\sum a_{n}$ è convergente;
• se $\sum b_{n}$ è divergente e $\lim _{n\to +\infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}>0$ (anche $+\infty$), allora $\sum a_{n}$ è divergente.

Il criterio del confronto asintotico è utile per far vedere che la serie armonica generalizzata è convergente per $\alpha >1$.

Dimostrazione

Dato che $\lim _{n\to +\infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}=l,0<l<+\infty$, per definizione di limite di successione abbiamo che:

$\forall \varepsilon >0\;\exists n_{0}:\forall n>n_{0}\;\left|{\frac {a_{n}}{b_{n}}}-l\right|<\varepsilon .$

Si scelga $\varepsilon =1$, allora si ha:

$\left|{\frac {a_{n}}{b_{n}}}-l\right|<1,$

che si può riscrivere:

$(l-1)b_{n}<a_{n}<(l+1)b_{n}.$

Dunque poiché $\sum b_{n}$ converge anche $\sum (l-1)b_{n}$ e $\sum (l+1)b_{n}$ convergono, di conseguenza anche $\sum a_{n}$ converge. Analogamente per $\sum b_{n}$ divergente.

Confronto con la serie geometrica: criteri derivati e stima del resto

Per applicare i criteri di confronto in modo diretto bisogna prendere in considerazione due serie, di cui una abbia un carattere noto (cioè si sappia se converge o meno), mentre l'altra abbia un carattere da valutare in base al confronto. Una delle due serie fa dunque da serie di riferimento.

Se però come serie di riferimento $\sum b_{n}$ fissiamo una particolare serie e confrontiamo una generica serie $\sum a_{n}$ con la serie fissata, allora - avendo fissato una delle serie - il criterio del confronto si riduce a delle condizioni sui termini $a_{n}$. Si ottengono così una serie di criteri derivati, che fanno riferimento esplicitamente ad una sola serie di cui si vuole stabilire il carattere, ma che tuttavia "sottintendono" un confronto con la serie di riferimento fissata. Quando si applicano tali criteri è importante tenere presente quale sia la serie "sottintesa", poiché ovviamente la stima del criterio derivato non potrà essere più raffinata di quella che si otterrebbe da un confronto diretto dalla serie studiata con quella di riferimento.

Una delle serie più utili come serie di riferimento per il confronto è la serie geometrica, cioè la successione delle somme parziali delle potenze di un argomento dato:

$s_{N}=\sum _{n=0}^{N}k^{n}={\frac {1-k^{N+1}}{1-k}}$

Applicando i criteri di confronto al confronto con questa serie si possono ricavare i seguenti criteri derivati:

Criterio della radice (o di Cauchy)

Consideriamo una serie a termini non negativi $\sum _{n=1}^{+\infty }a_{n}$ per la quale esista il limite $\lim _{n\to +\infty }{\sqrt[{n}]{a}}_{n}=k$.

Si ha che:

• il carattere della serie è convergente se $k<1;$
• il carattere della serie è divergente se $k>1;$
• non si può stabilire il carattere della serie se $k=1.$

Dimostrazione

Basta osservare che se $\lim _{n\to +\infty }{\sqrt[{n}]{a}}_{n}=k<1$ allora possiamo fissare un $k'$ fra $k$ e 1 tale che per tutti gli $n$ maggiori di un certo $N$ abbastanza grande i termini della successione siano minori di $k'$:

$\forall n>N,\quad {\sqrt[{n}]{a}}_{n}<k'<1$

Elevando per $n$ si ottiene dunque:

$\forall n>N,\quad a_{n}<k'^{n}.$

Applicando allora il criterio del confronto fra la serie $\sum a_{n}$ e la serie geometrica $\sum k'^{n}$ si ha che la serie converge.

Se $\lim _{n\to +\infty }{\sqrt[{n}]{a}}_{n}=k>1$ allora esiste $N$ tale che per ogni $n>N$ si ha ${\sqrt[{n}]{a_{n}}}>1$ da cui $a_{n}>1$. Dato che $a_{n}$ non tende a 0 la serie $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ diverge.

Esempio

Stabiliamo il carattere della serie:

$\sum _{n=1}^{\infty }n^{\beta }a^{n},\quad \beta \in \mathbb {R} ,\ a>0.$

Applicando il criterio della radice abbiamo:

${\sqrt[{n}]{n^{\beta }a^{n}}}=n^{\beta \over n}a.$

Ma

$\lim _{n\to \infty }n^{\beta \over n}a=a,$

come si deduce facilmente passando al logaritmo:

$\lim _{n\to \infty }e^{\log n^{\beta \over n}+\log a}=\lim _{n\to \infty }e^{{\beta \over n}\log n+\log a}=e^{\log a}=a.$

Quindi $\ \forall \beta \in \mathbb {R}$ se $\ a<1$ la serie converge, mentre se $\ a>1$ la serie diverge.

Per $a=1$ la serie diviene la serie armonica generalizzata con $\alpha =-\beta$ che diverge se $\beta \geq -1$ e converge se $\beta <-1$.

Criterio del rapporto (o di d'Alembert)

Consideriamo una serie a termini positivi $\sum _{n=1}^{+\infty }a_{n}$ tale che esista il limite $\lim _{n\to +\infty }{a_{n+1} \over a_{n}}=k$. Questa serie:

• converge, se $k<1$;
• diverge, se $k>1$;
• ha un comportamento che non può essere stabilito da questo criterio, se $k=1$.

Dimostrazione

Caso I

Se $\lim _{n\to +\infty }{a_{n+1} \over a_{n}}=k<1$, possiamo fissare un numero $k'\in (k,1)$ tale che, per tutti gli $n$ maggiori di un certo $N$ abbastanza grande, il rapporto fra due termini successivi sia minore di $k'$:

$\forall n>N,\quad {\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}<k'<1,$

da cui:

$a_{n+1}<k'a_{n}.$

Dal momento che questa relazione vale per tutti gli $n$ maggiori di $N$, partendo da un generico termine $a_{n}$ possiamo procedere a ritroso fino a $N+1$:

$a_{n}<k'a_{n-1}<(k')^{2}a_{n-2}<(k')^{n-(N+1)}a_{N+1}=\left[{\frac {a_{N+1}}{(k')^{N+1}}}\right](k')^{n}.$

A meno di una costante moltiplicativa (si ricordi che $N$ è un numero), la successione $a_{n}$ risulta minorante della successione delle potenze di $k'$, che è convergente, essendo $k'<1$. Di conseguenza, per il primo criterio del confronto, la serie degli $a_{n}$ converge.

Caso II

Essendo $\lim _{n\to +\infty }{a_{n+1} \over a_{n}}=k>1$, si consideri un numero $k'\in (1,k)$. Esiste allora un valore $N$ tale che

$\forall n>N,\quad {\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}>k'>1$

ossia

$a_{N+2}>k'a_{N+1}$

e analogamente

$a_{N+3}>k'a_{N+2}>(k')^{2}a_{N+1}\ \ \rightarrow \ \ a_{N+3}>(k')^{2}a_{N+1}$

$a_{N+4}>(k')^{3}a_{N+1}$

$\qquad \vdots$

$a_{N+q}>(k')^{q-1}a_{N+1}.$

La coda della serie degli $a_{n}$ è maggiorante di una serie geometrica che ha ragione $k'>1$ e che è quindi divergente:

$\sum _{n=N+2}^{+\infty }a_{n}>a_{N+1}\sum _{q=1}^{+\infty }(k')^{q}.$

Di conseguenza, utilizzando il primo criterio del confronto, anche la serie $\sum _{n=1}^{+\infty }a_{n}$ risulta divergente.

Stima del resto

Il confronto con la serie geometrica rende particolarmente agevole la valutazione del "resto", cioè dell'errore che si commette calcolando la somma di una serie fermandosi al suo $N$-esimo termine:

$\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}=\sum _{n=0}^{N}a_{n}+R_{N}.$

Supponiamo infatti di avere una serie $\sum a_{n}$ tale che da un certo $N$ in poi i termini $a_{n}$ siano minori dei termini di una serie geometrica di argomento $k$ tale che $-1<k<1$ a meno di una costante moltiplicativa $C$:

$\forall n>N,\quad a_{n}<Ck^{n}.$

Allora non solo la serie $\sum a_{n}$ converge, ma si ha anche:

$R_{N}=\sum _{n=N+1}^{\infty }a_{n}<C\sum _{n=N+1}^{\infty }k^{n}=C{\frac {k^{N+1}}{1-k}}.$

Questa espressione si semplifica ulteriormente nel caso in cui il confronto della serie $\sum a_{n}$ con la serie geometrica venga ottenuto per mezzo del criterio del rapporto. In quel caso infatti, come si è mostrato nella Dimostrazione, esiste una certa costante $k'<1$ e un certo intero $N$ abbastanza grande tale che:

$\forall n>N,\quad a_{n}<\left({\frac {a_{N+1}}{k'^{N+1}}}\right)k'^{n}.$

Possiamo dunque applicare la formula per il resto precedentemente trovata, con la costante moltiplicativa $C={\frac {a_{N+1}}{k'^{N+1}}}$, ottenendo:

$R_{N}<{\frac {a_{N+1}}{k'^{N+1}}}{\frac {k'^{N+1}}{1-k'}}={\frac {a_{N+1}}{1-k'}}.$

Dunque nei casi in cui si applica il criterio del rapporto il resto $N$-esimo della serie da stimare è limitato, a meno di una costante moltiplicativa, dall'$(N+1)$-esimo termine della serie. Questa è una relazione molto importante per gli sviluppi in serie di funzioni.

Criterio di Raabe

Consideriamo una serie $\sum _{n=1}^{+\infty }a_{n}$ a termini positivi, per la quale esiste il limite

$\lim _{n\to \infty }n\left({{a_{n}} \over {a_{n+1}}}-1\right)=l.$

Allora:

• se $l>1$ la serie converge;
• se $l<1$ la serie diverge;
• se $l=1$ il criterio non contribuisce a chiarire il suo comportamento.

Dimostrazione

Dimostriamo la divergenza.

Dato che $l<1$ per definizione di limite di successioni avremo:

$\exists \alpha \in N:\forall n\geq \alpha \Rightarrow n\left({\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-1\right)<1.$

Facendo qualche semplice passaggio si ottiene:

${\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-1<{\frac {1}{n}}\Rightarrow {\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}<1+{\frac {1}{n}}\Rightarrow {\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}<{\frac {n+1}{n}}\Rightarrow na_{n}<(n+1)a_{n+1},$ questo vale per $\forall n\geq \alpha .$

da questa posso scrivere:

$na_{n}>\alpha a_{\alpha }\Rightarrow a_{n}>{\frac {\alpha a_{\alpha }}{n}},$

dove:

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\alpha a_{\alpha }}{n}}=+\infty .$

Perché quest'ultima è una serie armonica moltiplicata per una costante. Inoltre per il criterio del confronto risulta che

$\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}=+\infty .$

Criterio di condensazione di Cauchy

Se $a_{n}$ è una successione positiva non crescente, la serie

$\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$

converge se e solo se converge la serie

$\sum _{n=1}^{\infty }2^{n}a_{2^{n}}.$

Criterio dell'integrale

Si consideri un intero $N$ e una funzione continua non negativa $f$ definita sull'intervallo illimitato $[N,+\infty )$, in cui è monotonicamente decrescente. Allora la serie

$\sum _{n=N}^{\infty }f(n)$

converge a un numero reale se e solo se l'integrale improprio

$\int _{N}^{\infty }f(x)\,dx$

è finito.

Osservazione: se l'integrale improprio è finito, allora il metodo dà anche un maggiorante e un minorante

$\int _{N}^{\infty }f(x)\,dx\leq \sum _{n=N}^{\infty }f(n)\leq f(N)+\int _{N}^{\infty }f(x)\,dx$

per la serie.

Dimostrazione

La dimostrazione utilizza il teorema del confronto fra il termine $f(n)$ con l'integrale di $f$ sugli intervalli $[n-1,n)$ e $[n,n+1)$, rispettivamente.

Poiché $f$ è decrescente, si sa che

$f(x)\leq f(n)\quad {\text{per ogni }}x\in [n,\infty )$

e

$f(n)\leq f(x)\quad {\text{per ogni }}x\in [N,n].$

Quindi, per ogni intero $n\geq N$,

$\int _{n}^{n+1}f(x)\,dx\leq \int _{n}^{n+1}f(n)\,dx=f(n)$

e, per ogni intero $n\geq N+1$,

$f(n)=\int _{n-1}^{n}f(n)\,dx\leq \int _{n-1}^{n}f(x)\,dx.$

Dalla somma su tutti gli $n$ da $N$ a qualche intero maggiore $M$, si ricava dalle disuguaglianze precedenti che

$\int _{N}^{M+1}f(x)\,dx=\sum _{n=N}^{M}\underbrace {\int _{n}^{n+1}f(x)\,dx} _{\leq \,f(n)}\leq \sum _{n=N}^{M}f(n)$

e

$\sum _{n=N}^{M}f(n)\leq f(N)+\sum _{n=N+1}^{M}\underbrace {\int _{n-1}^{n}f(x)\,dx} _{\geq \,f(n)}=f(N)+\int _{N}^{M}f(x)\,dx.$

Combinando i risultati si ha

$\int _{N}^{M+1}f(x)\,dx\leq \sum _{n=N}^{M}f(n)\leq f(N)+\int _{N}^{M}f(x)\,dx.$

Facendo tendere $M$ a infinito, segue sia il teorema che la stima del valore della serie.

Serie a termini discordi

Criterio di convergenza assoluta

Data una serie $\sum a_{n}$, si dice che essa è assolutamente convergente se $\sum {|a_{n}|}$ converge.

Teorema

Se una serie è convergente assolutamente è anche convergente semplicemente.

Dimostrazione

Sia $\sum a_{k}$ una serie.

Consideriamo $\sum {|a_{k}|}$; per ipotesi, essa converge. Allora

$\sum {|a_{k}|}{\text{ converge }}\Leftrightarrow \forall \varepsilon >0,\exists \nu :\forall n\geq \nu ,\forall p\geq 1,{\bigg |}\sum _{k=n+1}^{n+p}{|a_{k}|}{\bigg |}<\varepsilon \quad$ (deve essere soddisfatta la condizione di Cauchy sulle serie)

$\Leftrightarrow \forall \varepsilon >0,\exists \nu :\forall n\geq \nu \forall p\geq 1,\sum _{k=n+1}^{n+p}{|a_{k}|}<\varepsilon \quad$ (la serie dei moduli non è mai negativa)

$\Rightarrow \forall \varepsilon >0,\exists \nu :\forall n\geq \nu \forall p\geq 1,{\bigg |}\sum _{k=n+1}^{n+p}{a_{k}}{\bigg |}<\varepsilon \quad$ (minorazione tramite la disuguaglianza triangolare: la somma dei moduli è maggiore eguale al modulo della somma)

$\Leftrightarrow \sum {a_{k}}{\text{ converge}}.$

Criterio di Leibniz

Si dicono serie a termini di segno alterno le serie a termini reali tali che due termini consecutivi hanno segno opposto. La serie $\sum (-1)^{n}a_{n}$, con $a_{n}$ definitivamente positiva, è dunque a termini di segno alterno, infatti:

• per $n$ pari il termine è positivo;
• per $n$ dispari il termine è negativo.

Per queste serie vale il seguente criterio di Leibniz:

Data la serie $S_{N}=\sum _{n=0}^{N}(-1)^{n}a_{n}$, se la successione $|a_{n}|$ è definitivamente positiva, decrescente e tende a $0$, cioè:

• $|a_{n}|\geq |a_{n+1}|>0,\quad \forall n>N;$
• $\lim _{n\to \infty }|a_{n}|=0.$

Allora si ha che:

• la serie è convergente ad $S\in \mathbb {R} ;$
• le somme parziali di ordine pari e quelle di ordine dispari sono monotone e tendono a $S;$
• $|S_{n}-S|\leq |a_{n+1}|\,\forall n$, il resto $n$-esimo è minore al termine $a_{n+1}.$

Criterio di Dirichlet

Il criterio di Dirichlet per le serie generalizza il criterio di Leibniz. Siano $\{a_{n}\}$ e $\{b_{n}\}$ due successioni. Se $a_{n}$ tende monotonamente a $0$, e se la serie dei $b_{n}$ è limitata, cioè se

• $a_{n}\geq a_{n+1}\geq \cdots >0;$
• $|\sum _{n=1}^{N}b_{n}|<M,\quad \forall N.$

Allora la serie $\sum _{n=1}^{+\infty }{a_{n}b_{n}}$ è convergente. In particolare, ponendo $b_{n}=(-1)^{n}$ si ottiene il criterio di Leibniz.