Apri il menu principale
In un tetraedro, i 4 vertici hanno la stessa struttura locale (cuspide).

In geometria, la cuspide di un poliedro indica la struttura locale del poliedro vicino ad un vertice. Più in generale, è possibile definire una nozione di cuspide per un vertice di un qualsiasi politopo a dimensione arbitraria (e quindi anche per un poligono). In italiano è spesso usata anche la versione inglese star.

Indice

ValenzeModifica

 
Anche nell'icosidodecaedro ogni vertice ha la stessa struttura locale.

DefinizioneModifica

La valenza di un vertice di un poliedro è il numero di spigoli (o facce) adiacenti.

In un politopo di dimensione   arbitraria, ogni vertice ha   valenze  : qui   indica il numero di facce  -dimensionali adiacenti al vertice.

ProprietàModifica

 
In una piramide a base quadrata invece c'è un vertice che ha valenza  , mentre gli altri quattro hanno valenza  .

Poiché vi è un unico politopo adiacente al vertice, l'ultimo valore è sempre  .

In un poligono, le valenze sono sempre  . In un poliedro, sono  , dove   è la valenza definita inizialmente.

A proposito di  , affinché la dimensione sia  , ci devono essere almeno   spigoli adiacenti a ciascun vertice, e quindi  .

Base della cuspideModifica

La struttura locale del poliedro vicino ad un vertice è codificata dall'intersezione del poliedro con una piccola sfera centrata nel vertice. Spigoli e facce del poliedro intersecano questa sfera in un poligono con spigoli curvi, con numero di vertici (o spigoli) pari alla valenza.

Tale intersezione, definita per i vertici di un politopo di dimensione arbitraria, è la base della cuspide, detta anche link.

Analogamente si può definire una base "dritta" prendendo su ogni spigolo un punto che disti dal vertice una lunghezza fissata piccola; collegando questi punti tramite segmenti si ottiene un poligono vero e proprio. Se questo è regolare il vertice è un vertice regolare.

EsempiModifica

 
In un cubo, ogni vertice ha valenze  .

PoligoniModifica

Ogni vertice di un poligono è adiacente a due spigoli, ed al poligono stesso. Quindi   e  .

Nel quadrato, la base della cuspide di ciascuno dei quattro vertici è un arco nella circonferenza di ampiezza uguale a   radianti (pari a 90°).

PoliedriModifica

I solidi regolari hanno le stesse cuspidi ad ogni vertice (eventualmente ruotate nello spazio).

Nel cubo, vale  .

PolitopiModifica

Nell'ipercubo, vale  . La base della cuspide di ciascuno dei sedici vertici è un tetraedro sferico regolare.

In generale, in un cubo di dimensione  , il valore   non dipende dal vertice ed è dato dal coefficiente binomiale

 

Altri progettiModifica

  Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica