Decomposizione QR

In matematica, in particolare in algebra lineare, la decomposizione QR o fattorizzazione QR di una matrice quadrata a coefficienti reali o complessi è una scomposizione del tipo

dove è una matrice ortogonale, e è una matrice triangolare superiore. Si può dimostrare che tutte le matrici quadrate ammettono una decomposizione QR, anche se essa non è unica. Nel caso in cui la matrice sia a coefficienti complessi, allora è una matrice unitaria.

CalcoloModifica

Si può calcolare esplicitamente la fattorizzazione QR di una matrice data in tempo   operazioni aritmetiche attraverso l'uso delle trasformazioni di Householder o di quelle di Givens.

ApplicazioniModifica

L'applicazione principale della fattorizzazione QR è la soluzione di sistemi lineari: una volta fattorizzata la matrice   di un sistema lineare   con costo  , la soluzione del sistema è data da

 

Il calcolo di   richiede   operazioni, mentre il calcolo di   si può effettuare attraverso un algoritmo di sostituzione all'indietro sempre con   operazioni. Il costo dominante quindi è proprio quello della fattorizzazione.

La complessità computazionale di questo metodo risolutivo è quindi la stessa della soluzione mediante la fattorizzazione LU (o algoritmo di Gauss), ma questo algoritmo risulta avere una migliore stabilità numerica.

Inoltre, la fattorizzazione QR può essere utilizzata per il calcolo di basi ortonormali e per la risoluzione di un sistema ai minimi quadrati.

Alla base della fattorizzazione QR vi è un metodo, noto come metodo QR, utilizzato per calcolare gli autovalori di una matrice e i rispettivi autovettori.

Voci correlateModifica

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