Decomposizione di Cholesky

Fattorizzazione di Cholesky

In algebra lineare la decomposizione di Cholesky è la fattorizzazione di una matrice hermitiana e definita positiva in una matrice triangolare inferiore e nella sua trasposta coniugata. Essa si può considerare come un caso speciale della più generale decomposizione LU. Il nome di questa decomposizione ricorda il matematico francese André-Louis Cholesky (1875-1918).

DefinizioneModifica

Sia   una matrice quadrata, hermitiana e definita positiva su campo  ; tale   può essere decomposta come:

 

con   matrice triangolare inferiore con elementi diagonali positivi e   la matrice coniugata trasposta di  .

Se la matrice   è reale e simmetrica, la coniugata trasposta di   coincide con la trasposta e la decomposizione si semplifica:

 

Algoritmo di CholeskyModifica

L'algoritmo di Cholesky, usato per calcolare la matrice di decomposizione  , è una versione modificata dell'algoritmo di Gauss.

L'algoritmo ricorsivo inizia con il considerare:

 
 
 
 

Si definisce per i successivi i:

 

in modo che:

 

La ricorsione termina dopo n passi dove  . Si vede che la matrice triangolare inferiore   è calcolata come:

 

Algoritmo di Cholesky BanachiewiczModifica

L'algoritmo di Cholesky Banachiewicz dà una formula per calcolare direttamente le entrate della matrice triangolare inferiore  . Esso inizia formando l'angolo superiore sinistro della matrice   e procede a calcolare la matrice riga per riga:

 
     
       
     

Algoritmo di Cholesky-CroutModifica

L'algoritmo di Cholesky-Crout fornisce un procedimento un po' differente per calcolare le entrate della matrice triangolare inferiore  . Inizia formando l'angolo superiore sinistro della matrice   e procede a calcolare la matrice colonna per colonna:

  
    
    
      

EsempioModifica

Un esempio pratico per una decomposizione di Cholesky di una matrice 2x2:

 

 

 

BibliografiaModifica

  • (EN) S. J. Julier and J. K. Uhlmann. A General Method for Approximating Nonlinear Transformations of ProbabilityDistributions.
  • (EN) S. J. Julier and J.K. Uhlmann, A new extension of the Kalman filter to nonlinear systems, in Proc. AeroSense: 11th Int. Symp. Aerospace/Defence Sensing, Simulation and Controls, 1997, pp. 182–193.

Voci correlateModifica

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