Densità degli stati

In meccanica quantistica, un sistema non può assumere energie arbitrarie, ma è invece vincolato ad occupare dei livelli energetici discreti. A ciascun livello possono corrispondere uno o più stati quantistici. In questo contesto, la densità degli stati è una distribuzione usata in fisica statistica e dello stato solido per indicare quanti stati siano potenzialmente disponibili ad un dato sistema quantistico ad una data energia.

Definizione ed applicazioniModifica

La densità degli stati   è definita come il numero degli stati disponibile a un sistema quantistico in un intervallo di energia di ampiezza   centrato in   diviso per l'ampiezza stessa di tale intervallo,[1]

 

Tramite la relazione di dispersione  , che lega l'energia di uno stato al suo impulso  , si può scrivere la densità di stati come

 

con   la distribuzione delta di Dirac, e   il fattore di degenerazione legato allo spin. Per esempio, se lo spin è  ,   sarà  . In generale infatti:   dove   è appunto il numero di spin.

Nel limite termodinamico in cui in un intervallo di energia di ampiezza   sia contenuto un numero elevato di stati, la somma nell'espressione precedente può essere estesa a un integrale dove la misura dello spazio degli impulsi è  , ottenendo così l'espressione[2]

 

Le densità di stati così ottenute possono successivamente essere usate come pesi per calcolare osservabili termodinamiche in maniera agevole tramite la trasformazione

 

che rimpiazza un integrale in   variabili con un integrale in una sola variabile. Questo cambio di variabili è vantaggioso qualora la funzione di distribuzione del sistema e le osservabili di interesse siano esprimibili in maniera semplice in termini dell'energia.

Esempio: gas di fermioni liberiModifica

La relazione di dispersione del sistema è semplicemente  , con   la massa delle particelle. Il calcolo della   in tre dimensioni porta a [2]

 

Ricordando che i fermioni seguono la statistica di Fermi-Dirac

 

dove   è il potenziale chimico,   la temperatura e   la costante di Boltzmann e che, a  ,   è una funzione gradino che vale   per   e   altrimenti, si può calcolare, ad esempio, il numero di particelle nel sistema in funzione dell'energia di Fermi   è dato da

 

mentre a temperatura finita diviene

 

NoteModifica

  1. ^ IUPAC Gold Book
  2. ^ a b L. Pitaevskii e S. Stringari, "Bose-Einstein condensation and superfluidity", Oxford Science Publications, Oxford, UK, 2016.
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