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Derivata

misura di quanto una quantità cambi al variare di un seconda
La retta L tangente in P al grafico della funzione ha pendenza data dalla derivata della funzione in P

In matematica, la derivata è la misura di quanto la crescita di una funzione cambi al variare del suo argomento.

La derivata di una funzione è una grandezza puntuale, cioè si calcola punto per punto. Nel caso di funzioni a una variabile nel campo reale, essa è la pendenza della tangente al grafico della funzione in quel punto e ne rappresenta la migliore approssimazione lineare. Nel caso in cui la derivata esista (cioè la funzione sia derivabile) in ogni punto del dominio, la si può vedere a sua volta come una funzione che associa a ogni punto proprio la derivata in quel punto.

Il concetto di derivata è, insieme a quello di integrale, uno dei cardini dell'analisi matematica e del calcolo infinitesimale.

Il significato pratico di derivata è il tasso di variazione di una certa grandezza presa in considerazione. Un esempio molto noto di derivata è la variazione della posizione di un oggetto rispetto al tempo, chiamata velocità istantanea.

Indice

DescrizioneModifica

 
La derivata di una funzione in un punto è il coefficiente angolare della retta tangente alla curva nel punto. Si tratta quindi di un numero che misura la pendenza della retta tangente.

La derivata di una funzione   in un punto   è il valore del coefficiente angolare della retta tangente alla curva nel punto, cioè la tangente trigonometrica dell'angolo formato dalla tangente in un punto della curva di equazione   e l'asse delle ascisse. Se la derivata è uguale a zero la retta tangente alla curva di equazione   risulta parallela all'asse delle ascisse, mentre se la derivata tende a infinito la retta tangente alla curva di equazione   è parallela all'asse delle ordinate. La funzione derivata si ricava con una serie di operazioni algebriche note come regole di derivazione, applicabili universalmente a tutte le funzioni derivabili.

Nel caso di funzioni di più variabili la tangente in un punto alla curva della funzione non è unica, ma varia a seconda della direzione scelta. Non si può più quindi definire una sola funzione delle stesse variabili indipendenti che renda conto della pendenza del grafico della funzione in un punto: si ricorre allora alle derivate parziali della funzione, cioè ai coefficienti angolari di tangenti considerate lungo direzioni parallele agli assi che rappresentano le variabili indipendenti.

Le derivate parziali sono in numero pari alle variabili stesse, e una loro notevole proprietà è che se la funzione è sufficientemente "regolare" (cioè differenziabile) è possibile calcolarne la tangente lungo una direzione qualunque con una combinazione lineare delle derivate parziali stesse. Questo è possibile perché l'operatore di derivazione è un operatore lineare, e quindi la derivata di una combinazione lineare di funzioni derivabili è la combinazione lineare delle derivate delle singole funzioni, e la derivata del prodotto di uno scalare per una funzione è il prodotto dello scalare per la derivata della funzione.

DefinizioneModifica

 
Un'animazione che dà un'idea intuitiva della derivata, poiché lo "swing" di una funzione cambia quando cambia l'argomento.

La nozione di derivata si introduce, nel caso più semplice, considerando una funzione reale   di variabile reale   e un punto   del suo dominio. La derivata di   in   è definita come il numero   uguale al limite del rapporto incrementale al tendere a 0 dell'incremento, sotto l'ipotesi che tale limite esista e sia finito. In modo esplicito, detto   l'incremento, una funzione   definita in un intorno di   si dice derivabile nel punto   se esiste ed è finito il limite:

 

e il valore di questo limite è la derivata della funzione nel punto  . Se la funzione   è derivabile in ogni punto di un dato intervallo  , allora si dice che essa è derivabile in   e la funzione   che associa a ogni punto   la derivata   di   è la funzione derivata di  .

Derivata complessaModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Derivata complessa.

Nonostante il caso più semplice sia quello delle funzioni reali, la definizione di derivata trova la sua collocazione più naturale nell'ambito dell'analisi complessa, dove, applicata alle funzioni di variabile complessa, prende il nome di derivata complessa.[1] Detto   un sottoinsieme aperto del piano complesso, una funzione complessa   è differenziabile in senso complesso in un punto   se esiste il limite:[2]

 

Tale limite va inteso in relazione alla topologia del piano. In altre parole, per ogni successione di numeri complessi che converge a  , il rapporto incrementale deve tendere a un medesimo numero, indicato con  . Se   è differenziabile in senso complesso in ogni punto  , si dice che è una funzione olomorfa su  .

Relazione tra derivata reale e complessaModifica

La relazione tra la differenziabilità di funzioni reali e funzioni complesse è data dal fatto che se una funzione complessa:

 

è olomorfa allora   e   possiedono derivata parziale prima rispetto a   e   e soddisfano le equazioni di Cauchy-Riemann:[3]

 

In modo equivalente, la derivata di Wirtinger   di   rispetto al complesso coniugato   di   è nulla.

Derivata destra e derivata sinistraModifica

La derivata destra di   in   è il numero:

 

Analogamente, la derivata sinistra di   in   è il numero:

 

Una funzione è derivabile in   se e solo se esistono finite e uguali le derivate destra e sinistra. Queste permettono inoltre di definire la derivabilità su un intervallo non aperto: se   è definita ad esempio nell'intervallo chiuso  , si dice che   è derivabile in   se è derivabile in ogni punto interno   e se esistono le derivate destra e sinistra rispettivamente negli estremi   e  .

NotazioniModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Notazione per la differenziazione.

La prima notazione di derivata nel punto x0 che compare storicamente è:

 

ancora oggi usata in fisica. In alternativa, secondo la notazione di Lagrange viene indicata con:

 

secondo la notazione di Cauchy - Eulero con:

 

secondo la notazione di Leibniz con:

 

e secondo la notazione di Newton con:

 

Derivata parzialeModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Derivata parziale.

Nel caso di una funzione di più variabili, l'incremento della funzione rispetto a una sola variabile è la derivata parziale della funzione rispetto a tale variabile. Data una funzione vettoriale di più variabili   definita su un insieme aperto dello spazio euclideo  , dette   e   le basi canoniche di   e   rispettivamente, la funzione può essere scritta nel seguente modo:

 

La componente i-esima della funzione è allora:

 

Si definisce derivata parziale di   rispetto alla variabile   il limite:[4]

 

Tale limite è a volte chiamato limite del rapporto incrementale di   nel punto  , e viene denotato anche con  . La derivata parziale di una funzione, o nel caso di funzione vettoriale di una sua componente, si effettua quindi considerando le variabili diverse da quella rispetto a cui si vuole derivare come costanti e calcolandone il rapporto incrementale.

Derivata direzionaleModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Derivata direzionale.

La derivata direzionale di una funzione scalare   lungo un vettore unitario   è la funzione definita dal limite:

 

Se la funzione   è differenziabile in  , allora la derivata direzionale esiste lungo ogni vettore unitario   e si ha:[5]

 

dove   al secondo membro rappresenta il gradiente di   e   il prodotto scalare euclideo. In   la derivata direzionale di   rappresenta la variazione di   lungo  .

Generalizzazioni della derivataModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Generalizzazioni della derivata.

Differenziabilità di una funzioneModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Funzione differenziabile, Classe C di una funzione e Differenziale (matematica).
 
Una funzione da   in   è derivabile in un punto se è approssimabile vicino a quel punto da una retta. Tale retta deve quindi essere tangente al grafico della funzione. Questa nozione si estende in dimensioni arbitrarie, e prende il nome di funzione differenziabile.

Una funzione differenziabile in un punto è una funzione che può essere approssimata da una trasformazione lineare nel punto. Affinché ciò si verifichi è necessario che tutte le derivate parziali calcolate nel punto esistano, ovvero esistono finiti i limiti dei rapporti incrementali direzionali (dunque, se una funzione è differenziabile in un punto allora è derivabile nel punto). La proprietà di differenziabilità di una funzione consente di generalizzare il concetto di funzione derivabile a funzioni vettoriali di variabile vettoriale, e permette di individuare per ogni punto del suo grafico un iperpiano tangente.

Una funzione   definita su un insieme aperto dello spazio euclideo   è detta differenziabile in un punto   del dominio se esiste una applicazione lineare   tale che valga l'approssimazione:

 

dove   si annulla all'annullarsi dell'incremento  . Tale condizione si può scrivere in modo equivalente:

 

Se la funzione   è differenziabile in  , l'applicazione   è rappresentata dalla matrice jacobiana  .

Il vettore:

 

si chiama differenziale di   in   e   è la derivata totale della funzione  .

La funzione   è infine differenziabile se lo è in ogni punto del dominio.[6] In particolare, il teorema del differenziale totale afferma che una funzione è differenziabile in un punto se tutte le derivate parziali esistono in un intorno del punto per ogni componente della funzione e se sono inoltre funzioni continue. Se inoltre l'applicazione che associa   a   è continua, la funzione si dice differenziabile con continuità.[7]

Continuità e derivabilitàModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Funzione continua.

Il teorema di continuità asserisce che se   è derivabile in   allora   è anche continua in  .

L'inverso non è sempre vero: ad esempio, la funzione   è continua su tutto il dominio, ma non è derivabile nel punto  , perché la derivata destra non coincide con la derivata sinistra. La continuità di una funzione è quindi condizione necessaria, ma non sufficiente, per determinarne la derivabilità. Una funzione può inoltre essere derivabile (e quindi continua) in un punto  , ma essere discontinua in ogni punto intorno a  . Questo accade per funzioni come:

 

essendo   l'insieme dei numeri razionali e   l'insieme dei numeri reali, mentre il simbolo "\" denota la differenza tra insiemi. La funzione in esame ammette derivata in 0 (vale 0 il limite del rapporto incrementale) ma non è continua in nessun punto eccetto lo 0. Notiamo che se invece una funzione è due volte derivabile in un punto, allora è continua in un intorno di quel punto.

Per mostrare che se   è derivabile in   allora è continua in  , si considera l'uguaglianza precedente:

 

da cui:

 

Quindi la funzione è continua in  . La stima lineare della funzione attorno a   costituisce una migliore approssimazione rispetto a:

 

garantita dalla sola continuità (qui  ). Se la funzione è derivabile in   si può "scomporre" l'infinitesimo   in un termine lineare e un infinitesimo di ordine superiore. Il teorema di Lagrange fornisce una diversa approssimazione (sempre lineare) nell'ipotesi che la funzione sia derivabile in un intorno di  :

 

per tutti gli   in tale intorno, e con   un dato punto in   (o  , se è un intorno sinistro). Benché ora l'approssimazione sia "esatta" (non ci sono termini infinitesimi che vengono trascurati), il teorema non è in grado di mostrare per quale   sia vera l'uguaglianza.

Funzioni non derivabiliModifica

 
La funzione valore assoluto non è derivabile nell'origine, dove ha un punto angoloso

Una funzione continua può essere non derivabile. Ad esempio, una funzione continua può non essere derivabile in un punto isolato del dominio, in presenza di un punto angoloso, una cuspide o un flesso a tangente verticale. Esistono anche funzioni continue che presentano forme più complesse di non derivabilità, come ad esempio la funzione di Cantor. La funzione di Weierstrass è una funzione reale di variabile reale che ha la proprietà di essere continua in ogni punto ma di non essere derivabile in nessuno.

TeoremiModifica

Vengono enunciati di seguito alcuni teoremi e risultati significativi.

Regole di derivazioneModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Regole di derivazione.

Siano   e   funzioni reali di variabile reale   derivabili, e sia   l'operazione di derivazione rispetto a  :

 
 
 
 
 
 
con:
 
 

Teorema di FermatModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Teorema di Fermat sui punti stazionari.

Sia   una funzione derivabile, e quindi continua, in un punto   interno al dominio. Se   è un punto di massimo o di minimo per la funzione   allora la derivata della funzione in   è nulla, cioè  .

Non è indispensabile che   sia interno al dominio, essendo sufficiente che si tratti di un punto di accumulazione da destra e da sinistra per il dominio, mentre è essenziale porre che la funzione sia derivabile nel punto   in quanto non è possibile dedurne la derivabilità dalle altre ipotesi del teorema. Ogni punto in cui   si annulla (cioè è uguale a zero) è chiamato punto stazionario. I massimi e minimi relativi sono chiamati punti stazionari di  .

Questo teorema è molto usato nello studio di funzione, in quanto definisce la possibilità di avere un punto di massimo o di minimo dove la funzione derivata si annulla.

Teorema di RolleModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Teorema di Rolle.

Sia   una funzione continua nell'intervallo chiuso   e derivabile nell'intervallo aperto  . Se   allora esiste almeno un punto   dove la derivata prima   si annulla.

Teorema di LagrangeModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Teorema di Lagrange.

Sia   una funzione continua in   e derivabile nell'intervallo aperto  . Allora esiste almeno un punto   tale per cui:

 

Il teorema afferma che esiste almeno un punto   del grafico della funzione in cui la retta tangente ha coefficiente angolare uguale a quello della corda della retta passante per i punti   e  . Si tratta di una generalizzazione del teorema di Rolle che analizza il caso in cui   è diverso da  .

Teorema di CauchyModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Teorema di Cauchy (analisi matematica).

Siano   e   funzioni continue in   e derivabili in   con   diversa da 0 per ogni punto dell'intervallo. Allora esiste almeno un punto   tale per cui:

 

Considerando in particolare la funzione  , si ottiene l'affermazione del teorema di Lagrange.

Con il teorema di Cauchy è inoltre possibile dimostrare la regola di de l'Hôpital.

Monotonia a partire dalla derivataModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Teorema di Lagrange.

Sia   continua in   e derivabile in  . Allora:

  • Per ogni   si ha   se e solo se la funzione è crescente in  .
  • Per ogni   si ha   se e solo se la funzione è decrescente in  .

La funzione può non essere strettamente crescente (o decrescente), e il teorema è direttamente ricavabile dall'enunciato di Lagrange.

Analogamente, valgono anche i fatti seguenti:

  • Se per ogni   si ha   allora la funzione è strettamente crescente in  .
  • Se per ogni   si ha   allora la funzione è strettamente decrescente in  .

Una funzione strettamente crescente non ha necessariamente derivata ovunque positiva. Ad esempio,   è strettamente crescente, ma ha derivata nulla nell'origine, dove c'è un punto di flesso.

Il teorema della funzione costante afferma che una funzione è costante in un intervallo   se e solo se è derivabile e la derivata è ovunque nulla nell'intervallo. Mentre la condizione necessaria è conseguenza della definizione di derivata (la derivata di una costante è uguale a zero), la sufficienza segue dal teorema di Lagrange.

Derivate di ordine superioreModifica

La derivata n-esima   di una funzione   è la funzione che si ottiene derivando successivamente   volte la funzione  . Si definiscono così la derivata seconda, terza, e così via; e si usa generalmente una delle seguenti notazioni:

 

Una funzione derivabile non è necessariamente derivabile   volte. Ad esempio, la funzione   ha una derivata prima, ma non una seconda: infatti, la derivata di   è  , che non è a sua volta derivabile nell'origine.

La classe delle funzioni derivabili   volte e la cui derivata  -esima è continua si indica con  .

ConvessitàModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Funzione convessa.

Sia   derivabile. Allora   è convessa se e solo se   è crescente in  . Se   possiede derivata seconda, allora la convessità della funzione è data dalla disequazione:

 

Il cambiamento di segno della derivata seconda determina quindi un cambiamento di convessità della funzione e un relativo punto di flesso.

Significato geometrico della derivataModifica

 
La retta in rosso è la tangente al grafico della f(x) nel punto (x0, f(x0))

Il valore della derivata di   calcolata in   ha un significato geometrico: è il coefficiente angolare della retta tangente alla curva rappresentata dal grafico di   nel punto di coordinate  . In altre parole, la derivata è il valore della tangente trigonometrica dell'angolo (convesso) che la retta tangente in   al grafico della funzione forma con l'asse delle ascisse (a patto che tale angolo non sia retto).

L'equazione della retta tangente in   risulta:

 

Più precisamente, se   è derivabile nel punto  , allora esiste una funzione   definita in un intorno di   tale che:

 

con:

 

e tale formula è l'espansione di Taylor di   troncata al termine di primo grado. Si dice che   è un infinitesimo di ordine superiore alla funzione  , e con questo si vuole esprimere l'idea che il termine   fornisce un contributo che diventa trascurabile rispetto agli altri termini quando ci si avvicina a  . Si può anche dire che una funzione derivabile in   è approssimabile linearmente intorno a   con la sua retta tangente in tale punto.

Se si definisce infatti  , avente lo stesso dominio di  , come:

 

si verifica che:

 

Ricordando che per   allora  , e quindi  . Sostituendo questa ultima uguaglianza con la precedente equazione si ha:

 

EsempioModifica

Una funzione espressa come serie di potenze   con raggio di convergenza   è continua e derivabile su tutto l'intervallo  . La derivata può essere calcolata derivando termine a termine la serie nel modo seguente:

 

Tuttavia, in una serie di potenze si preferisce che   sia l'indice della potenza, quindi utilizzando uno shift diventa:

 

Questo tipo di derivata è importante per lo sviluppo di Taylor e Mc-Laurin.

NoteModifica

  1. ^ Weisstein, Eric W. Derivative. From MathWorld, su mathworld.wolfram.com. URL consultato il 25-11-2012.
  2. ^ Rowland, Todd. Complex Differentiable. From MathWorld, su mathworld.wolfram.com. URL consultato il 25-11-2012.
  3. ^ Weisstein, Eric W. Cauchy-Riemann Equations. From MathWorld, su mathworld.wolfram.com. URL consultato il 25-11-2012.
  4. ^ W. Rudin, Pag. 216.
  5. ^ W. Rudin, Pag. 219.
  6. ^ W. Rudin, Pag. 214.
  7. ^ W. Rudin, Pag. 220.

BibliografiaModifica

  • Paolo Marcellini, Carlo Sbordone Analisi Matematica Uno, Liguori Editore, Napoli, ISBN 88-207-2819-2, 1998.
  • Nicola Fusco, Paolo Marcellini, Carlo Sbordone Analisi Matematica Due, Liguori Editore, Napoli, ISBN 88-207-2675-0, 1996.
  • Walter Rudin, Principi di Analisi Matematica, Milano, McGraw-Hill, 1991, ISBN 88-386-0647-1.
  • (EN) Abramowitz, M. and Stegun, I. A. (Eds.). Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, 9th printing. New York: Dover, p. 11, 1972.
  • (EN) Amend, B. Camp FoxTrot. Kansas City, MO: Andrews McMeel, p. 19, 1998.
  • (EN) Anton, H. Calculus: A New Horizon, 6th ed. New York: Wiley, 1999.
  • (EN) Beyer, W. H. Derivatives. CRC Standard Mathematical Tables, 28th ed. Boca Raton, FL: CRC Press, pp. 229–232, 19

Voci correlateModifica

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