Derivazione complessa

In matematica la definizione di derivata trova l'ambientazione più naturale nel campo complesso,[1] dove l'operazione di derivazione viene detta derivazione complessa.

La derivata di una funzione di variabile complessa è definita grazie all'esistenza di una struttura di campo topologico sui numeri complessi. I risultati che si possono ottenere con la definizione di derivata nel campo sono più interessanti rispetto al caso di (dove si ha la definizione più semplice di derivazione): si vedano ad esempio la formula integrale di Cauchy e il teorema di Liouville.

DefinizioneModifica

Detto   un sottoinsieme aperto del piano complesso  , una funzione complessa   è differenziabile in senso complesso in un punto   se esiste il limite:[2]

 

Tale limite va inteso in relazione alla topologia del piano. In altre parole, per ogni successione di numeri complessi che convergono a   il rapporto incrementale deve tendere allo stesso numero, indicato con  . Se   è differenziabile in senso complesso in ogni punto   essa è una funzione olomorfa su  .

Chiamando   l'incremento della funzione   corrispondente all'incremento della variabile indipendente   si ha:

 

Vale il teorema secondo cui l'esistenza della derivata di una funzione in un punto implica la continuità della funzione in quel punto, ma non è vero il contrario.

DifferenziabilitàModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Funzione olomorfa.

Una funzione   è differenziabile in   se è derivabile e:

 

La relazione tra la differenziabilità di funzioni reali e funzioni complesse è data dal fatto che se una funzione complessa:

 

è olomorfa allora   e   possiedono derivata parziale prima rispetto a   e   e soddisfano le equazioni di Cauchy-Riemann:[3]

 

In modo equivalente, la derivata di Wirtinger   di   rispetto al complesso coniugato   di   è nulla.

Regole di derivazioneModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Regole di derivazione.

Sfruttando la definizione si dimostra che valgono tutte le regole di derivazione che caratterizzano la derivata di funzioni reali. Innanzitutto:

 

Inoltre, la derivata complessa è lineare:

 

e valgono la regola del prodotto:

 

e del rapporto:

 

Se inoltre  , si ha la regola della catena:

 

Condizioni di Cauchy-RiemannModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Equazioni di Cauchy-Riemann.

Le funzioni olomorfe definite su un aperto sono funzioni analitiche o regolari. Si tratta quindi di funzioni complesse definite in un insieme aperto   per le quali esiste la derivata, continua, in ogni punto di questo insieme e le derivate parziali soddisfano le equazioni di Cauchy-Riemann.

Condizione necessariaModifica

Supposto che esista la derivata di una funzione nel punto   allora le derivate parziali del primo ordine di   esistono, sono differenziabili e verificano le equazioni di Cauchy-Riemann.

Per dimostrare che esistono le derivate parziali della funzione, e che la parte reale ed immaginaria convergono rispettivamente alla parte reale ed immaginaria del limite (e che soddisfano le equazioni di Cauchy-Riemann), si sviluppa la definizione di derivata di una funzione complessa nella sua parte reale ed immaginaria nell'intorno del punto  , da cui otterremo le due relazioni fondamentali note come equazioni di Cauchy-Riemann:

 

dove il rapporto si può scrivere:

 

Facendo tendere a zero la parte reale ed immaginaria solo orizzontalmente come  , si ottiene:

 
 

Facendo tendere a zero la parte reale ed immaginaria solo verticalmente come  , si ottiene:

 
 

In questo modo si vede che uguagliando parti reali e parti immaginarie dalle equazioni precedenti, cosa permessaci dall'ipotesi di olomorfia sulla funzione, si ottengono le equazioni di Cauchy-Riemann:

 

Resta da dimostrare che   e   sono differenziabili. Dalla definizione di differenziabilità della funzione:

 

Questo limite afferma che per:

 

la differenza a numeratore tende a zero. Sviluppando in parte reale ed immaginaria questo equivale:

 
 
 

Questo limite esiste se e solo se sia la parte reale che immaginaria tendono allo stesso limite, cioè è zero se e solo se:

 

dalle quali si vede che   e   sono differenziabili in  .

Condizione sufficienteModifica

Si consideri la funzione  , definita in un intorno del punto  . Si supponga che esistano le derivate parziali:  ,  ,   e  , siano continue e soddisfino le equazioni di Cauchy-Riemann. Allora   è derivabile in questo punto.

Per mostrare che:

 

si può sviluppare questo limite nella parte reale e immaginaria e sfruttare la continuità delle derivate parziali:

 

da cui:

 

dove   e   per  .

Poiché per ipotesi valgono le equazioni di Cauchy-Riemann, si può scrivere il rapporto incrementale come:

 

Ma:

 

quindi l'ultima frazione al secondo membro è 1; mentre   per  . Per cui il limite del rapporto scritto sopra è la derivata.

Le forme con cui si può scrivere la derivata sono le seguenti:

 

EsempiModifica

Esempio 1Modifica

La   (coniugio) non è  -derivabile: dovrebbe esistere il

 

Se questo limite esistesse, lungo l'asse   dovrebbe essere:

 

mentre lungo l'asse  :

 

dunque la   non è derivabile.

Esempio 2Modifica

La   è invece derivabile. Si ha:

 
 
 
 
 

e questo limite è lo stesso lungo ogni restrizione.

NoteModifica

  1. ^ Weisstein, Eric W. Derivative. From MathWorld, su mathworld.wolfram.com. URL consultato il 25-11-2012.
  2. ^ Rowland, Todd. Complex Differentiable. From MathWorld, su mathworld.wolfram.com. URL consultato il 25-11-2012.
  3. ^ Weisstein, Eric W. Cauchy-Riemann Equations. From MathWorld, su mathworld.wolfram.com. URL consultato il 25-11-2012.

BibliografiaModifica

  • (EN) Shilov, G. E. Elementary Real and Complex Analysis. New York: Dover, p. 379, 1996.
  • (EN) Krantz, S. G. "The Complex Derivative." §1.3.5 and 2.2.3 in Handbook of Complex Variables. Boston, MA: Birkhäuser, pp. 15-16 and 24, 1999.

Voci correlateModifica

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