Derivazione delle funzioni iperboliche

L'equazione dell'iperbole equilatera in figura è:

$x^{2}-y^{2}=a^{2}$

quindi:

${\overline {OC}}=x,\qquad {\overline {PC}}={\sqrt {x^{2}-a^{2}}},\qquad {\overline {OA}}=a.$

L'area del settore iperbolico $OAP$ è uguale all'area del triangolo $OPC$ meno l'area della regione del piano delimitata dall'arco di iperbole $AP$, dall'asse delle $x$ e dal segmento $PC.$

$S={\frac {1}{2}}x{\sqrt {x^{2}-a^{2}}}-\int _{a}^{x}{\sqrt {t^{2}-a^{2}}}\,dt={\frac {a^{2}}{2}}\left[\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-a^{2}}}\right)-\ln a\right]={\frac {a^{2}}{2}}\left[\ln \left({\frac {x}{a}}+{\sqrt {\left({\frac {x}{a}}\right)^{2}-1}}\right)\right].$

Posto ${\frac {2S}{a^{2}}}=t$, si ha:

$\ln \left({\frac {x}{a}}+{\sqrt {\left({\frac {x}{a}}\right)^{2}-1}}\right)=t$

${\frac {x}{a}}+{\sqrt {\left({\frac {x}{a}}\right)^{2}-1}}=e^{t}$

$\left({\frac {x}{a}}\right)^{2}-1=\left(e^{t}-{\frac {x}{a}}\right)^{2}$

$2{\frac {x}{a}}e^{t}=e^{2t}+1$

${\frac {x}{a}}={\frac {e^{t}+e^{-t}}{2}}.$

Quest'ultima relazione definisce il coseno iperbolico di $t,$ $\cosh t$.

$\cosh t={\frac {e^{t}+e^{-t}}{2}}.$

Si definisce inoltre il seno iperbolico:

$\sinh t={\frac {y}{a}}={\frac {\sqrt {x^{2}-a^{2}}}{a}}={\sqrt {\left({\frac {e^{t}+e^{-t}}{2}}\right)^{2}-1}}={\sqrt {\left({\frac {e^{t}-e^{-t}}{2}}\right)^{2}}}={\frac {e^{t}-e^{-t}}{2}}.$

L'argomento delle funzioni iperboliche è analogo a quello delle funzioni goniometriche se si considera che, nel caso della circonferenza, l'angolo, in radianti, è uguale al doppio dell'area del settore circolare diviso il raggio al quadrato:

$\theta ={\frac {2S}{a^{2}}}$

e

$\cos \theta ={\frac {x}{a}},\qquad \sin \theta ={\frac {y}{a}}.$