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Il segmento B'D' è una diagonale del poligono A'B'C'D' e del cubo. Il segmento A'C è una diagonale del solo cubo

In geometria, si chiama diagonale il segmento che congiunge due vertici non consecutivi di un poligono o di un poliedro. Le diagonali possono essere interne o esterne al perimetro del poligono o al volume del poliedro, in particolare sono tutte interne se la figura è convessa.

Per sapere quante diagonali partono da un vertice di un poligono di vertici si contano tutti i vertici tranne il vertice considerato e i due consecutivi ad esso, in quanto i segmenti ottenuti costituirebbero due lati (e quindi non sarebbero "diagonali" secondo la definizione sopra riportata), quindi si hanno diagonali.

Il numero totale delle diagonali di un poligono di vertici è dato dalla formula

Indice

DimostrazioniModifica

Dimostrazione 1Modifica

Si dimentichi per un attimo il poligono e lo si sostituisca con l'insieme degli   punti corrispettivi dei vertici. Si tracci da ciascun punto le diagonali verso ognuno dei restanti   (per semplicità ora non si farà distinzioni fra lati e diagonali); si ha quindi che da ogni vertice del poligono partono in totale   diagonali, se però le si vogliono contare correttamente occorre fare il seguente ragionamento:

da   partono   diagonali;
da   partono   diagonali (si toglie quella proveniente da  );
da   partono   diagonali (si tolgono quelle provenienti da   e  );
...
da   partono   diagonali (ogni punto è già congiunto da una propria diagonale).

Il numero totale delle diagonali è quindi la sommatoria di una progressione aritmetica

 

da cui però bisogna togliere gli   lati, che inizialmente sono stati considerati per semplicità delle diagonali, quindi

 

Come si può verificare dalla formula, il triangolo con i suoi 3 lati è l'unico poligono a non avere diagonali.

Dimostrazione 2Modifica

Iniziamo dicendo che per formare una diagonale occorrono due vertici. Inoltre il segmento   e il segmento   rappresentano la stessa diagonale, quindi l'ordine con cui si prendono i vertici non è importante. Si tratta allora di contare quante configurazioni ordinate posso formare con   oggetti presi 2 alla volta. Per contare queste configurazioni ci viene in aiuto il calcolo combinatorio, infatti le configurazioni possibili sono le combinazioni semplici di   oggetti di classe 2

 

A queste configurazioni vanno poi tolte quelle ottenute prendendo due vertici consecutivi, quindi il numero   dei vertici del poligono

 

da cui  

Analisi empiricaModifica

 
L'andamento del numero di diagonali in funzione del numero di lati del poligono corrisponde alla conica di formula  , dove   è il numero dei lati e   è il numero delle diagonali

Provando a tracciare le diagonali di diversi poligoni si ottiene la seguente tabella:

Lati Diagonali
3 0
4 2
5 5
6 9
7 14
8 20
9 27
10 35
Lati Diagonali
11 44
12 54
13 65
14 77
15 90
16 104
17 119
18 135
Lati Diagonali
19 152
20 170
21 189
22 209
23 230
24 252
25 275
26 299
Lati Diagonali
27 324
28 350
29 377
30 406
31 434
32 464
33 495
34 527
Lati Diagonali
35 560
36 594
37 629
38 665
39 702
40 740
41 779
42 819

Si osserva che mentre i lati si susseguono linearmente, il numero delle rispettive diagonali aumenta in modo parabolico (per convincersene basta immettere i dati in un piano cartesiano), quindi la formula risolutiva deve essere un'equazione di secondo grado. Per trovarla si impieghi un sistema di 3 equazioni

 

dove   è il numero dei lati e   è il numero delle diagonali corrispondenti. Poiché sia   che   sono noti (almeno per un numero finito di casi), le incognite sono  . Sostituendo, ad esempio,   e i corrispondenti valori di   si ha

 

e risolvendo il sistema si ottiene  .

Quindi la formula risolutiva è   che sul piano cartesiano assume la forma della conica   con   e  .

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