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Nel calcolo infinitesimale, un differenziale esatto o differenziale totale è una 1-forma differenziale esatta:

cioè tale per cui esiste una funzione , detta potenziale, che soddisfa:[1]

Un differenziale è esatto se e solo se è integrabile, cioè se la grandezza è esprimibile come funzione di classe , la cui immagine è un sottoinsieme dei numeri reali. L'implicazione diretta dipende dal fatto che la seconda classe di continuità ammette sempre un solo differenziale . Per generalizzare la nozione di differenziale come infinitesimo a quantità definite arbitrariamente risulta utile avere un criterio per determinare se sia esprimibile come funzione delle sue variabili, o se invece non lo sia, anche perché in quest'ultimo caso risulta non conservata su un integrale chiuso nelle sue variabili.

Indice

DefinizioneModifica

Nel seguito si considera il caso tridimensionale, anche se la trattazione vale in uno spazio di dimensione arbitraria.

Una forma differenziale   è detta forma differenziale esatta su un dominio   se esiste una qualche funzione scalare   definita su   tale che:

 

su tutto  . Questo è equivalente a dire che il campo vettoriale   è un campo vettoriale conservativo, corrispondente al gradiente di un campo scalare (chiamato potenziale)  .

In una dimensione, una forma differenziale   è esatta se   ha una primitiva. Altrimenti, se   non possiede primitiva non si può scrivere   e la forma non è esatta.

In due dimensioni, per il teorema di Schwarz ogni funzione   sufficientemente regolare ha la proprietà:

 

da cui segue che in una regione semplicemente connessa   del piano x-y, un differenziale

 

è un differenziale esatto se e solo se vale la relazione

 

In tre dimensioni, un differenziale

 

è un differenziale esatto in una regione semplicemente connessa   dello spazio x-y-z se tra le funzioni  ,   e   sussiste la relazione

 

dove fuori dalle parentesi in basso sono indicate le variabili considerate costanti durante la differenziazione.

Riassumendo, quando un differenziale è esatto esiste   e:

 

indipendentemente dal cammino di integrazione seguito.

Criterio di SchwarzModifica

Se la funzione   di n variabili, con  , ammette un differenziale, esso corrisponde al prodotto scalare tra il gradiente   di   e  :

 

dove nell'ultima uguaglianza si è esplicitato il prodotto scalare. L'integrazione:

 

è permessa se e solo se tutte le funzioni integrande dipendono da altre variabili con lo stesso andamento:

 

e cioè se   verifica il teorema di Schwarz, affermazione valida per le funzioni   della seconda classe di continuità. Poiché il differenziale di   viene solitamente costruito come dipendenza implicita dai differenziali delle variabili, e cioè nella forma:

 

il criterio si traduce nel testare se:

 

e nel qual caso   ha differenziale esatto, che si può esprimere come  . Per una funzione di una variabile ovviamente questo si riduce a verificare che   appartenga alla prima classe di continuità, e cioè che   sia funzione continua in  .

Relazioni tra le derivate parzialiModifica

Se tre variabili  ,   e   sono legate dalla relazione   per qualche funzione differenziabile  , allora i seguenti differenziali esatti esistono:

 
 

Inserendo la prima equazione nella seconda si ottiene:

 
 
 

Dal momento che   e   sono variabili indipendenti,   e   possono essere scelti arbitrariamente. Affinché l'ultima relazione valga in generale è necessario che i termini tra parentesi quadra siano nulli.

Ponendo nullo il primo termine tra parentesi quadra si ha:

 

che con semplici passaggi conduce alla relazione di reciprocità:

 

Ponendo nullo il secondo termine tra parentesi quadra si ha:

 

e utilizzando una delle relazioni di reciprocità per   si ottiene la relazione ciclica, anche conosciuta come "regola del triplo prodotto":

 

Se, invece, si utilizza una relazione di reciprocità per   si ottiene una formula standard per la differenziazione implicita:

 

Applicazione in termodinamicaModifica

Si consideri la quantità di calore   scambiata in una trasformazione infinitesima:

 

dove compaiono nell'ordine la capacità termica a volume costante, la variazione di temperatura, la pressione e la variazione di volume. L'equazione traduce il primo principio della termodinamica per gas perfetti; è facile vedere che in generale:

 

perciò   non ha differenziale esatto, quindi il calore non è una funzione di stato del sistema.

Considerando invece l'aumento infinitesimo di entropia   si ha:

 

e poiché per i gas ideali vale   si ottiene:

 

Questa volta si ha:

 

quindi   è un differenziale esatto per i gas ideali. L'entropia è perciò una funzione di stato:

 

NoteModifica

  1. ^ Enciclopedia Treccani - Differenziale, su treccani.it. URL consultato il 26 luglio 2011.

BibliografiaModifica

  • (EN) Thomas, G. B., Jr. and Finney, R. L. Calculus and Analytic Geometry, 8th ed. Reading, MA: Addison-Wesley, 1996.
  • (EN) Perrot, P. (1998). A to Z of Thermodynamics. New York: Oxford University Press.
  • (EN) Zill, D. (1993). A First Course in Differential Equations, 5th Ed. Boston: PWS-Kent Publishing Company.
  • (EN) Yunus A. Çengel, Boles, Michael A., Thermodynamics Property Relations, in Thermodynamics - An Engineering Approach, McGraw-Hill Series in Mechanical Engineering, 3rd, Boston, MA., McGraw-Hill, 1998 [1989], ISBN 0-07-011927-9.

Voci correlateModifica

Collegamenti esterniModifica

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