Dimensione frattale

In geometria frattale la dimensione frattale, spesso indicata con D è una quantità statistica che dà un'indicazione di quanto completo appare un frattale per riempire lo spazio. La definizione di dimensione frattale non è unica, infatti vi sono diverse specifiche definizioni. Le più importanti sono la dimensione di Hausdorff, la dimensione di Minkowski-Bouligand, la dimensione di Rényi e la dimensione packing. In pratica viene spesso usato il conteggio del numero di box (box counting) per la sua semplice implementazione.

Fig.(1) Definizione di dimensione, partendo da un oggetto unitario.[1]

DefinizioniModifica

 
Fig.(2) Costruzione del triangolo di Sierpinski

Esistono due metodi per generare una struttura frattale. Il primo è ingrandire un oggetto unitario (vedi figura 1) e il secondo è costruire la sotto sequenza di divisione della struttura originale (vedi figura 2). In questo articolo si seguirà la seconda procedura.

Se si prende un oggetto unitario con dimensione lineare pari a 1 nella dimensione euclidea  , e riduciamo la sua dimensione lineare di un fattore   in ogni direzione spaziale, esso prende un numero pari a   di oggetti simili, per ricostruire l'oggetto originale (vedi figura 1).

La dimensione frattale è quindi definita da:

 

(dove il logaritmo può essere di qualsiasi base) è ancora uguale alla sua dimensione topologica ed euclidea.[1] Applicando l'equazione precedente alla struttura frattale, si può ottenere la dimensione frattale di tale struttura:

 

dove  (ε) indica la similarità della struttura lineare ε che serve per ricoprire l'intera struttura.

Ad esempio, la dimensione frattale del triangolo di Sierpinski rappresentato in figura 2, è dato da:

 

NoteModifica

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