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In matematica, la dimensione topologica o di Lebesgue è una nozione di dimensione che si applica a qualsiasi spazio topologico.

Come la dimensione di Hausdorff, la dimensione topologica dello spazio euclideo è . Le due nozioni di dimensione però differiscono per spazi più complicati, come i frattali.

Indice

DefinizioneModifica

Sia   uno spazio topologico. Un ricoprimento aperto   di   è una collezione di aperti   di   la cui unione è tutto  . Un suo raffinamento è un altro ricoprimento aperto   tale che ogni   è contenuto in almeno un  .

La dimensione topologica di   è il più piccolo intero   per cui ogni ricoprimento aperto di   ha un raffinamento in cui ogni punto è contenuto in al più   insiemi.

EsempiModifica

Retta realeModifica

Sia   un ricoprimento arbitrario della retta reale  . Ciascun   è un aperto ed è quindi unione di intervalli aperti. Si può sempre trovare un raffinamento   fatto solo di intervalli aperti. Si può inoltre raffinare ulteriormente questo ricoprimento e fare in modo che questi intervalli si sovrappongano meno possibile, e cioè che tre intervalli non si intersechino mai. Da questa costruzione segue che la retta ha dimensione minore o uguale a   D'altra parte, la retta è connessa e quindi non può essere descritta come unione disgiunta di piccoli intervalli: non ha cioè dimensione zero. La retta ha quindi dimensione topologica  

Spazi euclideiModifica

Più in generale, lo spazio   ha dimensione topologica  . La nozioni di dimensione di Hamel, topologica e di Hausdorff quindi coincidono per gli spazi vettoriali reali.

GrafiModifica

Un grafo avente un numero finito di vertici e spigoli ha dimensione topologica  

FrattaliModifica

 
Una approssimanzione della spugna di Menger, un frattale avente dimensione topologica uno.

L'insieme di Cantor ha dimensione topologica zero. Ha però dimensione di Hausdorff positiva, pari a  .

La spugna di Menger ha dimensione topologica uno. La spugna è una curva universale: ogni spazio metrico compatto di dimensione topologica 1 è contenuto in essa.

BibliografiaModifica

  • Karl Menger, General Spaces and Cartesian Spaces, (1926) Communications to the Amsterdam Academy of Sciences. English translation reprinted in Classics on Fractals, Gerald A.Edgar, editor, Addison-Wesley (1993) ISBN 0-201-58701-7
  • Karl Menger, Dimensionstheorie, (1928) B.G Teubner Publishers, Leipzig.
  • A. R. Pears, Dimension Theory of General Spaces, (1975) Cambridge University Press. ISBN 0-521-20515-8
  • V.V. Fedorchuk, The Fundamentals of Dimension Theory, appearing in Encyclopaedia of Mathematical Sciences, Volume 17, General Topology I, (1993) A. V. Arkhangel'skii and L. S. Pontryagin (Eds.), Springer-Verlag, Berlin ISBN 3-540-18178-4.

Voci correlateModifica

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