Dimostrazione della divergenza della serie dei reciproci dei primi

Uno dei primi teoremi della teoria dei numeri dimostrato in modo analitico è la divergenza della serie dei reciproci dei numeri primi, cioè

dove la variabile indica un numero primo.

Dimostrazione (Eulero)Modifica

Per la dimostrazione è necessario un lemma riguardante la serie armonica.

Dalla definizione del numero di Nepero si ricava immediatamente che

 

per ogni   intero positivo, prendendo il logaritmo di entrambi i membri si ottiene

 

da cui

 

e infine

 

Considerando adesso la somma dei reciproci di tutti i numeri naturali fino a   si ricava

 [1]

Quest'ultima disuguaglianza sarà fondamentale nella dimostrazione della divergenza della somma dei reciproci dei numeri primi.

Adesso definiamo il prodotto   come

 

Sapendo che

 [2]

si ricava

 

dove l'insieme   è definito come

 

Evidentemente se   allora   quindi

 

e dalla disuguaglianza ricavata sulla serie armonica si ricava

 

Adesso sapendo che   per ogni   si ottiene

 

dove l'ultimo membro diverge per   tendente a infinito, quindi la serie dei reciproci dei numeri primi diverge.  

Seconda dimostrazione (Eulero)Modifica

Eulero fornì anche un'altra dimostrazione, partendo sempre dalla serie armonica. Usando l'espansione di questa come prodotto infinito scrisse:

 

usando le proprietà dei logaritmi; quindi espanse la somma come la serie di Taylor di  :

 

I termini 1/3p, 1/4p2 possono essere maggiorati come:

 

Il secondo addendo converge perché è minore della corrispondente serie in cui gli addendi sono presi tra tutti i naturali anziché solo tra i primi; quindi

 

Poiché la somma   cresce come   per   tendente all'infinito, Eulero concluse che

 

Terza dimostrazione (Erdős)Modifica

La dimostrazione di Erdős fa uso solo di metodi elementari.

Per assurdo sia   allora esiste un numero primo   tale che  .

Sia   un intero arbitrario, indichiamo con   il numero di interi minori o uguali a   che hanno solo fattori primi minori o uguali a  , indichiamo anche  . Abbiamo che

 

Ora stimiamo  , scriviamo  , ogni   si può scrivere nella forma

 

dove   è privo di quadrati e  , se   è divisibile solo per i primi minori o uguali a  , allora lo è anche  . Ci sono meno di   possibili scelte per   e meno di   scelte per  , da cui

 

e quindi

 

si dimostra facilmente per induzione e utilizzando il postulato di Bertrand che per l'ennesimo numero primo si ha   e di conseguenza  , quindi possiamo scegliere   e troviamo

 

che è assurdo e conclude la dimostrazione.

NoteModifica

  1. ^ Questa è una somma telescopica che si riduce a  .
  2. ^ Questa è la formula (vista "al contrario") della serie geometrica, per cui, dato   (in questo caso  ), si ha  .

Voci correlateModifica

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