Discussione:Spazio vettoriale

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Ho riportato due volte la pagina alla versione precedente: la notazione introdotta per lo spazio vettoriale (V_K con una freccia sopra) non è standard, e infatti non è usata in nessun articolo (che io sappia) di wikipedia. Per questo motivo ho ripristinato la notazione semplice che c'era prima. Anche le notazioni per i vettori con frecce o sottolineature non sono mai usate qui, e raramente nei libri di algebra lineare perché troppo pesanti. Le più diffuse sono: vettori in grassetto, o semplicemente in corsivo. Chiedo gentilmente agli utenti che non sono d'accordo di discutere qui prima di fare eventuali modifiche sulle notazioni. Ylebru dimmela 11:22, 28 dic 2005 (CET)

problema: definire meglio V (credo)

c'e un problema nel modo in cui le cose sono state esposte:

" Da queste proprietà, possono essere immediatamente dimostrate le seguenti formule, valide per ogni a in K e ogni v in V: (1) a * 0 = 0 * v = 0 (2) -(a * v) = (-a) * v = a * (-v) "

la (1) è errata, per come le cose sono esposte

" Si dice che l'insieme V è sostegno di uno spazio vettoriale sul corpo K se in V è definita un'operazione interna (+) per cui (V,+) è un gruppo commutativo "

ma un gruppo commutativo valido è il gruppo composto dal solo elemento 1, con il "+" definito come funzione identità, quindi 0 non è contenuto in v.

Un gruppo commutativo (o abeliano che dir si voglia) è semplicemente un insieme con una operazione associativa e commutativa per la quale esiste un elemento identico e rispetto a cui ogni elemento ha un inverso. Poi che l'elemento neutro si indichi con 1 o con 0 o con e dipende totalmente dal constesto. Quando si è in astratto di solito il simbolo per l'operazione si tralascia o si usa il puntino e l'identità viene chiamata e. La cosiddetta notazione moltiplicativa è come la precedente solo che l'identità la indichiamo con 1. Infine quando l'operazione la si indica con + l'unità si indica con 0.

oh, di quel che dico sono ben poco sicuro, però temo che questo caso non fosse stato preso in considerazione.

la (1) è giusta, bisogna però che sia chiaro dove stanno gli zeri (in K o in V). Ho aggiunto una frase che dovrebbe chiarire. Non capisco molto la seconda obiezione: 1 e 0 in questo caso sono lo stesso oggetto. Ylebru dimmela 17:52, 14 feb 2006 (CET)

1. Lo spazio vettoriale non è una struttura "composta" da un Campo K, semmai uno spazio vettoriale può essere definito su un campo K, ma di per sè, lo spazio vettoriale è "vettoriale" quando si definisce una base di Hamel, non è necessario avere un Campo K, ma basta un insieme ordinato I di indici che assegna e parametrizzi degli oggetti, che chiamiamo per comodità 'vettori', in cui nessuno di tali oggetti può essere espresso come una "combinazione lineare" degli altri.

Il campo interviene solo quando si introduce il concetto di combinazione lineare, questo perchè si può (ma non è obbligatorio) associare ad ogni 'vettore' un numero reale (l'insieme dei numeri reali forma un campo) e che possiamo chiamare 'scalare', con la scrittura av + a'v'.. dove a, a' sono scalari.

2. l'insieme di scalari è un campo perchè l'insieme dei numeri reali forma un campo e gli scalari sono almeno numeri reali. In un modulo, gli scalari devono essere solo un anello.--AtlasXY (msg) 13:34, 20 mag 2019 (CEST)

Non sono sicuro di capire bene a cosa tu stia rispondendo. Ti rispondo per quel che ho capito che dici.

1. Premesso che tutto dipende dalle definizioni che si vogliono dare, solitamente nella "definizione" di spazio vettoriale è incluso un campo K oltre a un gruppo abeliano V e all'operazione di prodotto scalare per vettore. Senza un campo K non hai uno spazio vettoriale (usando la definizione comunemente intesa). Se consideri una "base di Hamel" allora devi definire cosa intendi per "elementi linearmente indipendenti" che formano la base di Hamel, cosa che non puoi fare se non hai la nozione di combinazione lineare per la quale ti serve un campo (in realtà basta un anello, ma allora entriamo nell'ambito dei moduli per le differenti proprietà algebriche che ne conseguono). Se, come dici di voler fare, consideri solo un insieme di elementi ordinatamente indicizzati, non hai uno spazio vettoriale, hai, appunto, un insieme di elementi ordinatamente indicizzati che non hanno nemmeno una operazione (per avere uno spazio vettoriale non credo nemmeno serva l'ordine, se non per cose più raffinate). Quindi come minimo devi richiedere una somma e che soddisfi certe proprietà (gruppo abeliano). Ma a questo punto hai un gruppo abeliano e non uno spazio vettoriale. Per arricchire la struttura ti serve l'operazione di prodotto scalare vettore e quindi un campo di scalari. Inoltre non si "associa ad un vettore un numero reale", ma "a una coppia scalare-vettore si associa un unico vettore", il viceversa non è univocamente determinato in generale.

2. Il campo degli scalari è un campo per definizione, non c'entrano nulla i numeri reali (a parte, credo, per motivi storici). Il caso di scalari reali è solo un caso estremamente particolare (e anche il più diffuso certo) in matematica, tutta la teoria di base degli spazi vettoriali funziona su campi arbitrari.

L'unica ipotesi che mi viene in mente compatibile circa con quel che dici è pensare gli spazi vettoriali come funtori, ma così su due piedi non saprei nemmeno bene come formalizzare la cosa in modo preciso e corretto, né se abbia in effetti una qualche utilità usare questo punto di vista.--Mat4free (msg) 19:39, 20 mag 2019 (CEST)

Se hai già un campo hai già un anello quindi hai già a disposizione la combinazione lineare come modulo (gruppo additivo abeliano) perchè hai già la base (vettoriale).

Ma se parti dall'anello non hai la base e quindi ti servono appena gli assiomi (per arrivare al) del campo per poter permetterti di avere la combinazione lineare come modulo (che è un gruppo additivo abeliano) [1].

Quando hai già un campo hai già

- l'anello

- la base

quindi la combinazione lineare è "modulare", cioè i vettori 'in combinazione lineare' si manifestano attraverso la struttura di gruppo additivo abeliano.

Quando hai solo un anello ti manca

- la base

quindi, dato che la combinazione lineare è per definizione "modulare" non puoi già averla, cioè "non è vero che è sufficiente" che basta un anello, perchè ti serve comunque un campo, cioè avere degli assiomi che fungono da chiave. Per questa ragione si fa 'spazio vettoriale' per poter cioè far combinazione lineare 'modulare'

Se si parte da una struttura piu povera - l'anello - hai bisogno, per fare 'combinazione lineare' una struttura piu ricca - il campo, in altre parole ti serve una base.

Se si parte da una struttura piu ricca - il campo - hai già la tua combinazione lineare, ma non è vero che "ti basta" un anello perchè ti serve un campo, quindi qua, le strutture sono sempre 2, l'unica cosa che si può fare è definire delle relazioni tra questi 2 insiemi, ma questo vuol dire che tu operi in un altro insieme, lo spazio vettoriale, ed è la ragione per cui ti serve il campo e l'anello come 2 insiemi nella loro differenza.

Non è che ogni campo è un anello, la verità è un'altra: c'è un campo e c'è un anello: 2. Da questi 2 insiemi tu inizi a lavorare in un terzo insieme.

Non basta un anello per avere la combinazione lineare, è obbligatorio avere anche un campo: è obbligatorio avere una base, quindi è impossibile "essere in combinazione lineare" rimanendo solo anello: è obbligatorio un campo: i moduli sono usati per spiegare che non si può parlare di combinazione lineare senza una base e non si può avere una base senza già aver a disposizione una combinazione lineare, la natura degli spazi vettoriali è duale ed è impossibile eliminarla.--AtlasXY (msg) 11:37, 7 giu 2019 (CEST)

Non sono sicuro di capire del tutto quel che scrivi, ma non mi sembra abbia molto senso, mi sembra che tu faccia molta confusione con le varie strutture algebriche in gioco. Cerco di risponderti.

Scrivi: "Se hai già un campo hai già un anello quindi hai già a disposizione la combinazione lineare come modulo (gruppo additivo abeliano) perchè hai già la base (vettoriale)." Già questo non ha molto senso e non si capisce. L'unica cosa chiara e corretta è "Se hai già un campo hai già un anello". Quel che gli fai seguire: " quindi hai già a disposizione la combinazione lineare come modulo (gruppo additivo abeliano)" è falso, ti serve un altro insieme (potenzialmente diverso dal campo/anello considerato), sena un altro inisieme non hai un modulo, hai solo un campo/anello; anche se hai un altro insieme, diciamo $X,$ oltre al campo/anello comunque NON hai ancora un modulo, ti serve una operazione (o funzione a seconda della formalizzazione che vogliamo dargli) che renda $X$ un gruppo abeliano e ti serve un'altra operazione che definisca il "prodotto" tra un elemento del campo/anello (che chiamo $A$) e un elemento di $X,$ altrimeni non ha senso scrivere $ax$ con $a\in A$ e $x\in X$ e il codominio di questo prodotto deve essere $X$ (altra cosa non ovvia, perché posso costruire prodotti con codominio diverso). Inoltre non si capisce nell'ultima parte della prima frase: "perchè hai già la base (vettoriale)." cos'è per te una "base" che continui a non definire e a non dire in che insieme sta, non si capisce nel tuo ragionamento questa "base" da dove esce e in che insieme vive.

Poi scrivi: "Ma se parti dall'anello non hai la base e quindi ti servono appena gli assiomi (per arrivare al) del campo per poter permetterti di avere la combinazione lineare come modulo (che è un gruppo additivo abeliano)". Anche questo non ha senso e non si capisce il link che riporti cosa c'entri col tuo ragionamento. Se considero, ad esempio l'anello degli interi $\mathbb {Z}$ sia come anello che come gruppo abeliano additivo è un modulo su sé stesso e posso fare combinazioni lineari del tipo $a_{1}x_{1}+\ldots +a_{n}x_{n}$ con $a_{1},\ldots ,a_{n},x_{1},\ldots ,x_{n}\in \mathbb {Z}$ anche se non c'è nessun campo in gioco (infatti $\mathbb {Z}$ è uno $\mathbb {Z}$-modulo).

Poi scrivi: "quindi la combinazione lineare è "modulare", cioè i vettori 'in combinazione lineare' si manifestano attraverso la struttura di gruppo additivo abeliano." come ho già scritto sopra è falso, se hai la struttura di gruppo abeliano additivo hai solo somme (e non ti serve né anello né campo, basta $X$), ma per le combinazioni lineari ti serve anche un "prodotto" che in input ha un elemento del campo/anello e un elemento del gruppo abeliano $X$ e in output un elemento di $X$.

Poi scrivi: "Quando hai solo un anello ti manca la base", premesso che ancora non ho capito quale sarebbe la tua definizione di base, ti ho mostrato sopra che avere un campo non migliora la tua situazione e non hai comunque un "base" qualunque cosa si intenda (oppure ce l'hai già in entrambi i casi, dipende cosa intendi con "base").

Poi scrivi: "quindi, dato che la combinazione lineare è per definizione "modulare" non puoi già averla, cioè "non è vero che è sufficiente" che basta un anello, perchè ti serve comunque un campo, cioè avere degli assiomi che fungono da chiave. Per questa ragione si fa 'spazio vettoriale' per poter cioè far combinazione lineare 'modulare'" in cui non è troppo chiaro cosa intendi con "la combinazione lineare è per definizione "modulare"", ma in qualunque intepretazione che mi venga in mente ti ho risposto sopra. Per il resto della frase ti ho mostrato sopra che non è vero quel che scrivi.

Poi scrivi: "Se si parte da una struttura piu povera - l'anello - hai bisogno, per fare 'combinazione lineare' una struttura piu ricca - il campo, in altre parole ti serve una base." ancora non si capisce cosa intendi per "base" e ti ho già mostrato sopra che per "far combinazioni lineari" OLTRE a un anello/campo (basta un anello!) serve un gruppo abeliano con una operazione prodotto tra i due come ho scritto sopra.

Poi ripeti cose già dette e infine concludi con: " i moduli sono usati per spiegare che non si può parlare di combinazione lineare senza una base e non si può avere una base senza già aver a disposizione una combinazione lineare, la natura degli spazi vettoriali è duale ed è impossibile eliminarla." I moduli non sono usati assolutamente per questo! La teoria dei moduli è molto più complicata di quella degli spazi vettoriali e ha tantissime applicazioni in vari campi della matematica e l'idea di modulo sostanzialmente è proprio richiedere meno assiomi degli spazi vettoriali mantendo però alcune proprietà come la possibilità di effettuare combinazioni lineari.

Spero di essermi spiegato, se vuoi maggiori delucidazioni forse è meglio se scrivi sulla mia pagina di discussione.--Mat4free (msg) 13:54, 7 giu 2019 (CEST)

E la "dimensione"?

Non si può parlare di spazi vettoriali senza dire niente sulla "dimensione"!!--Pokipsy76 13:14, 26 feb 2006 (CET)

Vettori "geometrici"

Tra gli esempi manca quello più fondamentale ed intuitivo: i vettori "geometrici" dati dalle frecce che partono dall'origine del piano (della retta o dello spazio) e si sommano secondo la regola del parallelogrammo.--Pokipsy76 09:26, 30 lug 2007 (CEST)

Definizione formale

1) Nella definizione, l'Associatività del prodotto esterno: ∀ a,b ∈ K, ∀ v ∈ V: a * (b * v) = (a * b) * v non è SCORRETTA?

Non sarebbe più corretto scrivere: ∀ a,b ∈ K, ∀ v ∈ V: a * (b * v) = (ab) * v

che starebbe ad indicare che tra i valori a e b del campo K si usa un'operazione definita sul campo, non l'operazione * che è definita in K×V→V ma non certo in K×K?!

Infatti in wikipedia inglese si legge: "Compatibility of scalar multiplication with field multiplication" e con riferimeto all'nb che dice: "This axiom is not asserting the associativity of an operation, since there are two operations in question, scalar multiplication: bv; and field multiplication: ab."

2) Altra precisazione, sempre nella definizione si legge: ∀ a,b ∈ K, ∀ v ∈ V, (a + b) * v = a * v + b * v Distributività del prodotto esterno rispetto all'addizione di scalari. Ma questa NON è un'addizione tra scalari ma è la + definita nel campo, quindi il nome dovrebbe essere Distributività del prodotto esterno rispetto all'addizione del campo. (sempre in inglese: Distributivity of scalar multiplication with respect to field addition).

Luk.wk (msg) 16:18, 23 set 2010 (CEST)

Piu' che scorretto, direi che la notazione e' un po' infelice, perche' si usano gli stessi simboli per indicare operazioni diverse. Se pensi di poter rendere piu' chiare le frasi in questione, fai pure le modifiche opportune.--Sandro (bt) 17:04, 23 set 2010 (CEST)

Diciamo che la 1) è infelice e fuorviante (mi sono messo oggi a ri-studiare gli spazi vettoriali e quella notazione mi ha dato problemi), la 2) invece è proprio sbagliata come nome. Purtroppo non sono uno scrittore di enciclopedie :) quindi per ora mi limito a segnalare gli errori che trovo; sono registrato da poco, non vorrei combinare disastri! Luk.wk (msg) 18:06, 23 set 2010 (CEST)

La 2) non è sbagliata, l'addizione fra scalari e il + del campo sono la stessa cosa. Ylebru dimmela 19:32, 23 set 2010 (CEST)

Beh, volendo essere (molto) puntigliosi in realtà sono operazioni definite rispettivamente da C x C a C e da VxV a V, per cui una piccola differenza formale c'è, notazione a parte la frase mi sembra sufficientemente chiara, per cui lascerei così. Sul prodotto ho fatto il cambiamento.--Sandro (bt) 04:15, 24 set 2010 (CEST)

Luk.wk non parlava del + in V, ma in C (almeno da quanto leggo), infatti non capisco la sua proposta. Probabilmente intendeva in V. Comunque la frase che c'è adesso mi sembra ragionevole: la distributività è rispetto alla somma per scalari (e produce una somma di vettori). Ylebru dimmela 09:36, 24 set 2010 (CEST)

(f.c.) Effettivamente! :)--Sandro (bt) 05:54, 25 set 2010 (CEST)

ok grazie per le modifiche e per le spiegazioni! Luk.wk (msg) 16:05, 24 set 2010 (CEST)

Ho apportato una modifica di "sintassi" grammaticale all'inizio della pagine, chiarificando con una lista gli "oggetti" necessari allo spazio vettoriale. Non ho alterato il contenuto.

Definizione

La definizione con tre/quattro simboli diversi ad indicare le varie operazioni mi sembra eccessivamente pesante. Userei due simboli soli, per somma e prodotto, se non addirittura uno solo (la somma) come nella pagina inglese. Ylebru dimmela 08:12, 22 ott 2015 (CEST)

Penso che la definizione con 4 simboli diversi per le varie operazioni sia molto utile in un approccio didattico a chi non ha mai visto uno spazio vettoriale, ma effettivamente è eccessivamente pesante per una voce enciclopedica.--Mat4free (msg) 10:41, 23 ott 2015 (CEST)

Anche sui libri di testo e nelle lezioni universitarie si usa generalmente un simbolo solo (ad esempio il Lang citato). A volte si tende a confondere il rigore con l'eccesso di formalismo, ma poi quando si insegna o si scrive di matematica ci si accorge che non funziona così. :-) Ylebru dimmela

Non penso sia il posto giusto per questa discussione, ma non sono quasi per niente d'accordo. Il rigore è una cosa, l'eccesso di formalismo un'altra (che dipende chiaramente dalla situazione), e la chiarezza espositiva per introdurre concetti nuovi evitando di usare stessi simboli per cose diverse per chi non è abituato un'altra ancora (e quest'ultimo a me sembra un concetto abbastanza chiave nella didattica anche se costa più fatica a chi scrive e rende un po' più pesante la notazione, ma è un'opinione personale). Inoltre il fatto che molti non lo facciano non è garanzia del fatto che sia il migliore approccio didattico all'argomento, servirebbe un'analisi di didattici della matematica per avere supporto statistico a questa affermazione, ma non sono troppo informato in materia. =) --Mat4free (msg) 19:17, 23 ott 2015 (CEST)

Nessun docente mette 4 simboli diversi, perché per come è strutturato il cervello umano non ce n'è bisogno. Lo studente ha chiarissimo in testa che le 4 operazioni sono diverse anche senza usare 4 simboli. Ne basta uno solo, con un avvertimento di accompagnamento: attenzione che le operazioni in realtà sono quattro. Ylebru dimmela 15:56, 24 ott 2015 (CEST)

Le mie esperienze personali nello spiegare gli spazi vettoriali non mi permettono di essere d'accordo con te, ma forse ho avuto sempre studenti non troppo in gamba. :) E non ho troppe conoscenze di come funziona il cervello umano per ribattere su questo. :) Comunque sono d'accordo a non usare 4 simboli diversi in questa voce. --Mat4free (msg) 21:16, 24 ott 2015 (CEST)

simbolo \ni

nel paragrafo spazio vettoriale libero l'ultima formula riporta il simbolo \ni. qual'è il significato che l'autore gli ha attribuito? --Giancarlo Degli Esposti (msg) 16:19, 13 ago 2022 (CEST)

Quello è il simbolo di appartenenza insiemistica $\in$ orientato al contrario (perché l'insieme è a sinistra e l'elemento a destra).--Mat4free (msg) 10:03, 20 ago 2022 (CEST)