Disequazione trigonometrica

In matematica, le disequazioni trigonometriche o goniometriche sono disequazioni del tipo $f(x)<g(x)$ oppure $f(x)>g(x)$ in cui almeno una delle funzioni $f(x)$ e $g(x)$ contenga l'incognita come argomento di una funzione trigonometrica (come ad esempio il seno, il coseno, la tangente, l'arcotangente, ecc.).

Non è una disequazione trigonometrica ad esempio $6x^{2}-7x+\sin \left({\frac {\pi }{8}}\right)>0,$ dal momento che l'argomento del seno è una costante.

Esempio

Un esempio di disequazione trigonometrica è:

$\sin x-{\frac {1}{2}}>0.$

Questa disequazione, molto elementare, si risolve facilmente sulla circonferenza goniometrica, cercando tutti i valori del seno maggiori di ${\frac {1}{2}}$, e cioè:

${\frac {\pi }{6}}+2k\pi <x<{\frac {5\pi }{6}}+2k\pi ,$ con $k\in \mathbb {Z} .$

Metodi di risoluzione

I metodi risolutivi per una disequazione goniometrica dipendono dal tipo di disequazione; dato che le equazioni goniometriche possono essere elementari, lineari, omogenee, etc, così lo sono anche le disequazioni: se la disequazione è di tipo elementare (come nell'esempio sopra) può essere risolta con il metodo grafico utilizzando la circonferenza goniometrica; se è lineare, vengono usate le formule parametriche di seno e coseno, che consentono di esprimere entrambe queste due funzioni in dipendenza dalla tangente dell'angolo dimezzato, o il metodo di sostituzione; se sono omogenee si può ricorrere alla relazione fondamentale della trigonometria, cioè $\sin ^{2}x+\cos ^{2}x=1.$ Naturalmente essa è utile in caso in cui la funzione trigonometrica abbia una potenza di ordine pari.

Si possono anche usare, a seconda dei casi e della convenienza, le formule di bisezione, di duplicazione, le formule di Werner e le formule di prostaferesi.

Esempio

Si risolva la disequazione:

$\sin ^{2}x-\cos x-1<0.$

Basta porre $\sin ^{2}x=1-\cos ^{2}x,$ e la disequazione da risolvere diventa $\cos ^{2}x+\cos x>0,$ che si risolve normalmente ponendo ad esempio $\cos x=y.$ Bisogna quindi trovare le soluzioni di $y^{2}+y>0,$ che è risolta per $y<-1\lor y>0.$ Per concludere basta riportare al posto della $y$ il coseno di $x,$ il che diventa:

$\cos x<-1\lor \cos x>0.$

Tenendo conto del fatto che il coseno è una funzione limitata tra $-1$ e $1$ e quindi $\cos x<-1$ non ha soluzioni, le soluzioni sono $-{\frac {\pi }{2}}+2k\pi <x<{\frac {\pi }{2}}+2k\pi ,$ con $k\in \mathbb {Z} .$

Bibliografia

• Paolo Baroncini, Roberto Manfredi, Ilaria Fragni, Lineamenti.Math Blu Volume 4, Ghisetti e Corvi, 2012, ISBN 978-88-538-0432-7.
• Paolo Baroncini, Roberto Manfredi, Nella Dodero, Nuovo Corso di Trigonometria, Ghisetti e Corvi, 2010, ISBN 978-88-801-3037-6.
• Massimo Bergamini, Graziella Barozzi, Anna Trifone, Matematica.blu 2.0 (seconda edizione) Vol.4, Zanichelli - Bologna, 2018, ISBN 978-88-08-84542-9.

Voci correlate

• Disequazione
• Trigonometria
• Equazione trigonometrica
• Equazione