Distribuzione di Dirichlet

In teoria della probabilità la distribuzione di Dirichlet, spesso denotata con , è una distribuzione di probabilità continua, dipendente da un vettore di numeri reali positivi , che generalizza la variabile casuale Beta nel caso multivariato. Prende il nome dal matematico tedesco Peter Gustav Lejeune Dirichlet.

Ha come funzione di densità di probabilità

dove e sono numeri reali positivi tali che

Il suo valore atteso è

la moda è

mentre la varianza è

Inoltre, per ogni coppia con , si ha che la covarianza è

TeoremiModifica

La distribuzione Beta come caso particolareModifica

Se k=2,  , allora   è distribuita come una variabile casuale Beta  

La distribuzione di Dirichlet come prior coniugate della v.c.MultinomialeModifica

Nell'ambito dell'inferenza bayesiana la variabile casuale di Dirichlet è una prior coniugate della variabile casuale multinomiale in quanto se si applica alla

 

una distribuzione a priori delle θ corrispondente ad una variabile casuale di Dirichlet

 

allora la distribuzione a posteriori delle θ è anch'essa una variabile casuale di Dirichlet, ma con i parametri incrementati dai valori osservati

 

Questo teorema può essere visto come una generalizzazione multivariata dell'equivalente teorema univariato, che coinvolge variabile casuale binomiale al posto della multinomiale e la variabile casuale Beta al posto della Dirichlet.

Dalla Gamma (Erlang B) alla DirichletModifica

Se si hanno k indipendenti variabili casuali distribuite ciascuna come una variabile casuale Gamma con un parametro comune a tutti e unitario e un parametro individualizzato (si tratta dunque di variabili casuali dette Erlang B, ciascuna con il proprio parametro)

 

definendo la loro somma come

 

allora si ha che

 

Altri progettiModifica

Collegamenti esterniModifica

  • SciencesPo: pacchetto R che contiene funzioni per la simulazione di parametri della distribuzione Dirichlet.
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