Distribuzione logaritmica

Disambiguazione – Se stai cercando la distribuzione in funzione del logaritmo della prima cifra di un numero, vedi Legge di Benford.

In teoria delle probabilità la distribuzione logaritmica (o della serie logaritmica) è una distribuzione di probabilità discreta sui numeri interi positivi che esprime lo sviluppo in serie di Taylor del logaritmo naturale,

Distribuzione logaritmica
Funzione di probabilità discreta
Distribuzione di probabilità
Distribuzione di probabilità
Funzione di ripartizione
Funzione di ripartizione
Funzione di ripartizione
Parametri
Supporto
Funzione di densità
Funzione di ripartizione
con la funzione Beta incompleta
Valore atteso
Moda
Varianza
Funzione generatrice dei momenti
Funzione caratteristica
.

La distribuzione venne descritta da Ronald Fisher in uno studio sulla genetica delle popolazioni.[1]

Definizione modifica

La distribuzione logaritmica di parametro   attribuisce le probabilità

  per  .

Siccome la serie di Taylor (o di Maclaurin) di   ha raggio di convergenza 1, la probabilità totale è 1.

La funzione di ripartizione è

 ,

dove   è la funzione Beta incompleta.

Caratteristiche modifica

Una variabile aleatoria   con distribuzione logaritmica di parametro   ha

 ,

tramite i quali si possono esprimere

 
 .

La funzione generatrice dei momenti è

 .

Inoltre siccome la funzione   è decrescente,   assume il valore massimo in 1, la moda.

Altre distribuzioni modifica

Formula ricorsiva modifica

La distribuzione logaritmica di parametro   soddisfa la ricorsione di Panjer

  per  

ma è limitata al supporto  . (La distribuzione di Panjer con gli stessi parametri definisce una distribuzione degenere, con  .)

Distribuzione composta di Poisson modifica

Se la variabile aleatoria   segue una distribuzione di Poisson allora la somma di   variabili aleatorie indipendenti   con una stessa distribuzione logaritmica,

 ,

segue una distribuzione di Pascal (o binomiale negativa).

In altri termini, la distribuzione di Pascal è una distribuzione composta di Poisson della distribuzione logaritmica.

Note modifica

  1. ^ R.A. Fisher, A.S. Corbet e C.B. Williams, The Relation Between the Number of Species and the Number of Individuals in a Random Sample of an Animal Population (PDF), in Journal of Animal Ecology, vol. 12, n. 1, 1943, pp. 42–58, JSTOR 1411 (archiviato dall'url originale il 26 luglio 2011).

Voci correlate modifica

Collegamenti esterni modifica

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