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In matematica una disuguaglianza (o diseguaglianza) è una relazione d'ordine totale sull'insieme dei numeri reali o su un suo sottoinsieme.

Può essere intesa in senso largo o in senso stretto, a seconda che la relazione d'ordine sia riflessiva o meno. Nei due casi vengono utilizzate le coppie di simboli e , oppure e .

Gli stessi simboli possono essere utilizzati per "confrontare" due funzioni a valori reali.

NotazioneModifica

La disuguaglianza in senso largo si indica con le scritture equivalenti   e  , che si leggono "a è maggiore o uguale a b" e "b è minore o uguale ad a".

La disuguaglianza in senso stretto si indica invece le scritture equivalenti   e  , lette "a è maggiore di b" e "b è minore di a".

Questa notazione può essere confusa con la notazione graficamente simile ab (o ba), utilizzata con due diversi significati: sia per indicare che un numero è sufficientemente più grande di un altro ("a è molto maggiore di b"), sia per indicare che una funzione è asintoticamente più grande di un'altra ("a domina b"). In entrambi i casi non è una disuguaglianza, ma solamente una relazione d'ordine parziale, ovvero può non permettere di confrontare tra loro due distinti elementi dell'insieme.

ProprietàModifica

Ordine totaleModifica

Se la disuguaglianza è stretta:

Ogni coppia di elementi distinti è confrontabile, ovvero:  , si verifica una e una sola relazione tra:   e  .

Se la disuguaglianza è larga:

Ogni coppia di elementi è confrontabile, ovvero:   si verifica una relazione tra:   e  .

Antisimmetria e tricotomiaModifica

Se la disuguaglianza è stretta, allora vale la tricotomia:

  vale una e una sola delle tre relazioni  .

Se la disuguaglianza è larga, allora vale l'antisimmetria:

 .

Somma e sottrazioneModifica

Le disuguaglianze vengono preservate se ad entrambi i termini viene aggiunto o sottratto uno stesso numero:

  • per ogni tre numeri reali a, b e c sono equivalenti: a > b, a + c > b + c, ac > bc.

Lo stesso vale con la disuguaglianza in senso largo.

Questa proprietà indica che confrontare due numeri a e b è equivalente a verificare se la loro differenza a-b è positiva o negativa, ovvero a confrontare a-b e 0. Inoltre a>0 equivale a -a<0, così come a>b equivale a -a<-b.

Questa proprietà in generale descrive i gruppi ordinati.

Moltiplicazione e divisioneModifica

Le disuguaglianze vengono preservate se entrambi i termini vengono moltiplicati o divisi per uno stesso numero strettamente positivo. Moltiplicando o dividendo per un numero strettamente negativo, invece, le disuguaglianze si scambiano:

  • per ogni terna di numeri reali a, b e c,
    • se c>0 allora sono equivalenti: a>b, ac>bc, a/c>b/c;
    • se c<0 allora sono equivalenti: a>b, ac<bc, a/c<b/c.

Lo stesso vale con la disuguaglianza in senso largo.

Per la precedente proprietà, la seconda riga equivale alla prima, scrivendo -c al posto di c.

Queste proprietà in generale descrivono gli anelli ordinati e i campi ordinati (o campi reali).

Funzioni monotoneModifica

Le disuguaglianze sono alla base della definizione delle funzioni monotòne: le funzioni che conservano o invertono l'ordinamento dei numeri reali, quindi le disuguaglianze, sono funzioni monotone crescenti o decrescenti.
In particolare, le funzioni monotone in senso stretto "mantengono" le disuguaglianze in senso stretto; invece una funzione monotona in senso largo fornisce solamente disuguaglianze in senso largo.

DisequazioneModifica

A volte si abusa della notazione per la disuguaglianza, scrivendo f>0 anche quando f è una funzione a valori reali. Con questa notazione si intende che f assume solo valori strettamente positivi, ovvero che f(x)>0 per ogni x nel dominio di f. Nello stesso modo, f>g indica che f-g>0, ovvero che f(x)>g(x) per ogni x nel comune dominio di f e g. Lo stesso capita con la disuguaglianza in senso largo.

Quando il dominio delle funzioni non viene specificato, si parla di disequazione.

Disuguaglianze comuniModifica

Voci correlateModifica

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