Disuguaglianza di Bonse

In teoria dei numeri, la disuguaglianza di Bonse è una disuguaglianza tra numeri primi, dimostrata per vie elementari da H. Bonse nel 1907. Detto $p_{n}$ l'$n$-esimo numero primo, essa afferma che

$p_{n+1}^{2}<p_{1}p_{2}...p_{n}$

per $n>3$. Utilizzando questa disuguaglianza, Bonse dimostrò che 30 è il più grande intero $n$ con la seguente proprietà: se un numero naturale $k$, con $1<k<n$, è tale che il massimo comune divisore $(n,k)=1$, allora $k$ è un numero primo.

Bonse dimostrò anche la disuguaglianza più forte:

$p_{n+1}^{3}<p_{1}p_{2}...p_{n}$

per $n>5$.

Queste disuguaglianze rafforzano la seguente:

$p_{n+1}<p_{1}p_{2}...p_{n}$

che è conseguenza immediata della dimostrazione di Euclide del teorema dell'infinità dei numeri primi.

Miglioramenti e disuguaglianze analoghe

M. Dalezman dimostrò nel 2000 che

$p_{n+1}p_{n+2}<p_{1}p_{2}...p_{n}$

per $n>3$.

J. Sandór dimostrò alcune disuguaglianze simili nel 1988, tra cui:

$p_{n+5}^{2}+p_{[{\frac {n}{2}}]}^{2}<p_{1}p_{2}...p_{n}$

per $n>23$.

L. Pósa dimostrò nel 1960 che, per ogni $k>1$, esiste $n_{k}$ tale che:

$p_{n+1}^{k}<p_{1}p_{2}...p_{n}$

per $n\geq n_{k}$.

L. Panaitopol dimostrò nel 2000 che è sufficiente scegliere $n_{k}=2k$ e, in particolare, dimostrò che:

$p_{n+1}^{n-\pi (n)}<p_{1}p_{2}...p_{n}$

dove $\pi (x)$ è la funzione enumerativa dei primi.

Bibliografia

• J. V. Uspensky, M. A. Heaslet, Elementary Number Theory, McGraw Hill, 1939, p. 87, ISBN 978-0-07-066750-1.
• Hans Rademacher, Otto Toplitz, The enjoyment of mathematics, Princeton Univ. Press, 1957.
• David Wells, Prime Numbers: The Most Mysterious Figures in Math, Wiley, 2005, p. 21, ISBN 0-471-46234-9.
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• G. van Golstein Brouwers, D. Bamberg, J. Cairns, "Totally Goldbach numbers and related conjectures". Australian Mathematical Society Gazette. Vol 31(4) (2004), p. 254. Versione online.
• József Sándor, Geometric Theorems, Diophantine Equations, and Arithmetic Functions, American Research Pres, 2002, ISBN 1-931233-51-9, pp. 238–240. versione online