Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz

disuguaglianza matematica

In matematica, la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz, nota anche come disuguaglianza di Schwarz o disuguaglianza di Bunyakovsky, è una disuguaglianza che compare in algebra lineare e si applica in molti altri settori, quali ad esempio l'analisi funzionale e la probabilità.

Proposta inizialmente da Augustin-Louis Cauchy, la formulazione integrale della disuguaglianza è dovuta a Viktor Bunyakovsky (1859), e si può trovare anche nei lavori di Hermann Amandus Schwarz a partire dal 1884.

Negli spazi Lp la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz è un caso particolare della disuguaglianza di Hölder.

La disuguaglianzaModifica

Sia   uno spazio prehilbertiano, cioè uno spazio vettoriale reale dotato di un prodotto scalare definito positivo, o uno spazio vettoriale complesso dotato di un prodotto hermitiano. La disuguaglianza asserisce che il valore assoluto del prodotto scalare di due elementi è minore o uguale al prodotto delle loro norme. Formalmente:

 

con l'uguaglianza che sussiste solo se   e   sono multipli (giacciono cioè sulla stessa retta).

In forma integrale:

 

con   e   funzioni quadrato sommabile in  , che formano lo spazio di Hilbert L2. Una generalizzazione di questa disuguaglianza è la disuguaglianza di Hölder.

Nello spazio euclideo   si ha:

 

In dimensione 3, la disuguaglianza è conseguenza della seguente uguaglianza:

 

dove l'operazione binaria   indica il prodotto vettoriale.

ProprietàModifica

La disuguaglianza vale quindi ad esempio nello spazio euclideo  -dimensionale e negli spazi di Hilbert a dimensione infinita.

Nel piano, la disuguaglianza segue dalla relazione:

 

dove   è l'angolo fra i due vettori   e  . Si estende quindi questa relazione a un qualsiasi spazio vettoriale con prodotto scalare, usandola per definire l'angolo fra due vettori   e   come il   che realizza l'uguaglianza.

Tra le conseguenze importanti della disuguaglianza si trovano:

Dimostrazione 1Modifica

Siano  ,   vettori arbitrari in uno spazio vettoriale   su un campo   con un prodotto scalare (formando così uno spazio prodotto interno), e sia   il campo reale o complesso. Dimostriamo la disuguaglianza

 

dove l'identità vale se e solo se   e   sono multipli fra di loro.

Se   è banalmente provata l'uguaglianza, ed in questo caso   e   sono linearmente dipendenti (multipli l'uno dell'altro) a prescindere da  . Possiamo quindi assumere   non nullo. Assumiamo anche  , altrimenti la disuguaglianza è ovviamente verificata, perché né    possono essere negativi.

Sia   il vettore ortogonale a   (si veda ortogonalizzazione di Gram-Schmidt) così definito:

 

Quindi

 

Per bilinearità e simmetria del prodotto scalare e per ortogonalità di   e   si ha che

 

da cui, moltiplicando entrambi i membri per  ,

 

Poiché la norma e il valore assoluto sono non negativi (i quadrati di quantità non negative sono ordinati come le proprie basi), prendendo la radice quadrata di ambo i membri si ottiene

  QED.

Dimostrazione 2Modifica

La disuguaglianza risulta banalmente vera per  , quindi si assume   diverso da zero. Sia   un numero complesso. Si ha:

 
 

Scegliendo

 , e ricordando che  

si ottiene:

 
 
 
 

che vale se e solo se

 

o equivalentemente

 

Dimostrazione algebricaModifica

Si consideri un polinomio di secondo grado in   del tipo:

 

che non ha radici reali tranne nel caso in cui gli   e i   sono tutti uguali fra loro, o se data una coppia   sussiste un legame di proporzionalità con tutte le coppie   (cioè per ogni   esiste   tale che   e  ). In tal caso la radice è:

 

Sviluppando i quadrati si ottiene:

 

Poiché il polinomio ha una o nessuna radice, il discriminante dev'essere minore o uguale a 0. Quindi:

 

da cui si ricava:

 

che è la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz.

BibliografiaModifica

  • Walter Rudin, Principi di analisi matematica, Milano, McGraw-Hill, 1991, ISBN 88-386-0647-1.

Voci correlateModifica

Collegamenti esterniModifica


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