Disuguaglianza di Čebyšëv sulla somma

Nota disambigua.svg Disambiguazione – Se stai cercando la disuguaglianza omonima riguardante la teoria della probabilità, vedi Disuguaglianza di Čebyšëv.

In matematica, la disuguaglianza di Čebyšëv sulla somma, che porta il nome di Pafnutij L'vovič Čebyšëv, stabilisce che se:

allora:

In modo simile, se:

allora:

o meglio:

DimostrazioneModifica

La disuguaglianza di Čebyšëv sulla somma segue dalla disuguaglianza di riarrangiamento. Si supponga di avere:

 

per la disuguaglianza di riarrangiamento si ha che:

 

è il valore massimo che assume il prodotto scalare fra le due sequenze. Dunque:

 
 
 
 
 

sommando tutte queste disuguaglianze si ottiene:

 

e dividendo per  :

 

Disuguaglianza sulle funzioniModifica

Esiste inoltre una versione continua della disuguaglianza di Čebyšëv: se   e   sono funzioni reali ed integrabili in  , entrambe crescenti o entrambe decrescenti, allora:

 

Questo può essere generalizzato ad integrali in qualsiasi altro spazio, come anche a prodotti numerabili di integrali.

BibliografiaModifica

  • (EN) Gradshteyn, I. S. and Ryzhik, I. M. Tables of Integrals, Series, and Products, 6th ed. San Diego, CA: Academic Press, p. 1092, 2000.
  • (EN) G. H. Hardy, J. E. Littlewood e G. Pólya, Inequalities, Cambridge Mathematical Library, Cambridge, Cambridge University Press, 1988, ISBN 0-521-35880-9, MR 0944909.
  • (EN) Hardy, G. H.; Littlewood, J. E.; and Pólya, G. Inequalities, 2nd ed. Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 43-44, 1988.

Voci correlateModifica

Collegamenti esterniModifica

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